Question

8．已知S_n是數(shù)列{a_n}的前n項和，向量$\overrightarrow a=（{a_n}-1，-2），\overrightarrow b=（4，{S_n}）$滿足$\overrightarrow a⊥\overrightarrow b$，則a₂₀₁₅=2²⁰¹⁵．

Answer 1

分析 通過$\overrightarrow a⊥\overrightarrow b$可知數(shù)量積為0，進而可知S_n=2a_n-2，當n≥2時，利用a_n=S_n-S_n-1計算可知a_n=2a_n-1，進而可知數(shù)列{a_n}是首項、公比均為2的等比數(shù)列，計算即得結(jié)論．

解答 解：∵$\overrightarrow a⊥\overrightarrow b$，
∴（a_n-1，-2）•（4，S_n）=0，即4a_n-4-2S_n=0，
整理得：S_n=2a_n-2，
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1
=（2a_n-2）-（2a_n-1-2）
=2a_n-2a_n-1，
即a_n=2a_n-1，
又∵a₁=2a₁-2，即a₁=2，
∴數(shù)列{a_n}是首項、公比均為2的等比數(shù)列，
∴a₂₀₁₅=2²⁰¹⁵，
故答案為：2²⁰¹⁵．

點評 本題考查數(shù)列的通項，考查向量數(shù)量積運算的坐標表示，考查運算求解能力，注意解題方法的積累，屬于基礎題．