Question

9．下列命題中，
①方程$\frac{{x}^{2}}{4-t}$+$\frac{{y}^{2}}{t-1}$=1表示曲線C可能為圓；
②$\left\{\begin{array}{l}{x＞1}\\{y＞2}\end{array}\right.$是$\left\{\begin{array}{l}{x+y＞3}\\{xy＞2}\end{array}\right.$的充要條件；
③一個命題的逆命題為真，它的否命題也一定為真；
④“9＜k＜15”是“方程$\frac{{x}^{2}}{15-k}$+$\frac{{y}^{2}}{k-9}$=1表示橢圓”的充要條件．
⑤設(shè)P是以F₁、F₂為焦點的雙曲線一點，且$\overrightarrow{{PF}_{1}}$•$\overrightarrow{{PF}_{2}}$=0，若△PF₁F₂的面積為9，則雙曲線的虛軸長為6；其中真命題的序號是①③⑤（寫出所有正確命題的序號）．

Answer 1

分析 當t=$\frac{5}{2}$時，方程$\frac{{x}^{2}}{4-t}$+$\frac{{y}^{2}}{t-1}$=1表示曲線C為圓，可判斷①；根據(jù)充要條件的定義，可判斷②；根據(jù)互為逆否的兩個命題真假性相同，可判斷③；根據(jù)k=12時方程表示圓，可判斷④；求出滿足條件的虛軸長，可判斷⑤

解答 解：①當t=$\frac{5}{2}$時，方程$\frac{{x}^{2}}{4-t}$+$\frac{{y}^{2}}{t-1}$=1表示曲線C為圓，故正確；
②$\left\{\begin{array}{l}{x＞1}\\{y＞2}\end{array}\right.$表示的平面區(qū)域如圖中紅色陰影部分所示，
$\left\{\begin{array}{l}{x+y＞3}\\{xy＞2}\end{array}\right.$表示的平面區(qū)域如圖中灰色陰影部分所示；

由圖可得$\left\{\begin{array}{l}{x＞1}\\{y＞2}\end{array}\right.$是$\left\{\begin{array}{l}{x+y＞3}\\{xy＞2}\end{array}\right.$的充分不必要條件，
故錯誤；
③一個命題的逆命題與否命題，互為逆否命題，真假性相同，故一個命題的逆命題為真，它的否命題也一定為真，故正確；
④“9＜k＜12，或12＜k＜15”是“方程$\frac{{x}^{2}}{15-k}$+$\frac{{y}^{2}}{k-9}$=1表示橢圓”的充要條件，故錯誤．
⑤設(shè)P是以F₁、F₂為焦點的雙曲線一點，且$\overrightarrow{{PF}_{1}}$•$\overrightarrow{{PF}_{2}}$=0，若△PF₁F₂的面積為9，則b²=9，b=3，雙曲線的虛軸長2b=6，故正確；
故答案為：①③⑤

點評 本題以命題的真假判斷與應用為載體，考查了圓錐曲線的方程，圓錐曲線的性質(zhì)，四種命題，充要條件等知識點，難度中檔．