Question

12．已知點(diǎn)F（0，$\frac{1}{4a}$），函數(shù)f（x）=ax²（a＞0）的圖象在點(diǎn)A（1，f（1））處的切線為直線m．
（1）若點(diǎn)F到直線m的距離為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，求a的值；
（2）直線n與函數(shù)y=f（x）的圖象相切于點(diǎn)B（異于點(diǎn)A），若直線m，n相交于點(diǎn)P，則線段AF，PF，BF的長(zhǎng)能否構(gòu)成等比數(shù)列？請(qǐng)加以說明．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，可得直線m的方程，利用點(diǎn)F到直線m的距離為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，求a的值；
（2）求出P的坐標(biāo)，利用等比數(shù)列的性質(zhì)，即可得出結(jié)論．

解答 解：函數(shù)f（x）=ax²的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=2ax，
即有在點(diǎn)A（1，f（1））處的切線斜率為k=2a，
∴直線m的方程為y-a=2a（x-1），即2ax-y-a=0，
∵點(diǎn)F（0，$\frac{1}{4a}$），F(xiàn)到直線m的距離為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\frac{|-\frac{1}{4a}-a|}{\sqrt{4{a}^{2}+1}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵a＞0，
∴a=$\frac{1}{2}$；
（2）設(shè)B（x₀，y₀），則直線n的方程為y-y₀=x₀（x-x₀），即x₀x-y-$\frac{1}{2}$x₀²=0，
與x-y-$\frac{1}{2}$=0聯(lián)立，可得x=$\frac{1}{2}$（1+x₀），y=$\frac{1}{2}$x₀，
∵線段AF，PF，BF的長(zhǎng)構(gòu)成等比數(shù)列，
∴$\frac{1}{4}$（1+x₀）²+（$\frac{1}{2}$x₀-$\frac{1}{2}$）²=（$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}$）（y₀+$\frac{1}{2}$），
∴$\frac{1}{4}$（2+2x₀²）=$\frac{1}{2}$x₀²+$\frac{1}{2}$成立，
∴線段AF，PF，BF的長(zhǎng)構(gòu)成等比數(shù)列．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率，同時(shí)考查數(shù)列等比數(shù)列的判定，屬于中檔題．