Question

20．已知函數(shù)f（x）=-lnx+x+h，在區(qū)間$[{\frac{1}{e}，e}]$上任取三個(gè)實(shí)數(shù)a，b，c均存在以f（a），f（b），f（c）為邊長(zhǎng)的三角形，則實(shí)數(shù)h的取值范圍是（　　）

• A． （-∞，-1）
• B． （-∞，e-3）
• C． （-1，+∞）
• D． （e-3，+∞）

Answer 1

分析 由條件可得2f（x）_min＞f（x）_max且f（x）_min＞0，再利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的最值，從而得出結(jié)論．

解答 解：任取三個(gè)實(shí)數(shù)a，b，c均存在以f（a），f（b），f（c）為邊長(zhǎng)的三角形，
等價(jià)于f（a）+f（b）＞f（c）恒成立，可轉(zhuǎn)化為2f（x）_min＞f（x）_max且f（x）_min＞0．
令$f'（x）=-\frac{1}{x}+1=\frac{x-1}{x}=0$得x=1．
當(dāng)$\frac{1}{e}＜x＜1$時(shí)，f'（x）＜0；當(dāng)1＜x＜e時(shí)，f'（x）＞0；
所以當(dāng)x=1時(shí)，f（x）_min=f（1）=1+h，$f{（x）_{max}}=max\{f（\frac{1}{e}），f（e）\}$=$max\left\{{\frac{1}{e}+1+h，e-1+h}\right\}$=e-1+h，
從而可得$\left\{\begin{array}{l}2（1+h）＞e-1+h\\ h+1＞0\end{array}\right.$，解得h＞e-3，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的恒成立問(wèn)題，求函數(shù)的最值，屬于中檔題．