Question

17．設(shè)f（x）=sin（2x+φ）+$\sqrt{3}$cos（2x+φ）（|φ|＜$\frac{π}{2}$），其圖象關(guān)于直線(xiàn)x=0對(duì)稱(chēng)，則f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[kπ，kπ+$\frac{π}{2}$]（k∈Z）．

Answer 1

分析 由和差角公式化簡(jiǎn)由對(duì)稱(chēng)性可得φ=$\frac{π}{6}$，進(jìn)而可得f（x）=2cos2x，解不等式2kπ≤2x≤2kπ+π可得．

解答 解：化簡(jiǎn)可得f（x）=sin（2x+φ）+$\sqrt{3}$cos（2x+φ）
=2[$\frac{1}{2}$sin（2x+φ）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos（2x+φ）=2sin（2x+φ+$\frac{π}{3}$），
∵f（x）的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=0對(duì)稱(chēng)，
∴φ+$\frac{π}{3}$=kπ+$\frac{π}{2}$，由|φ|＜$\frac{π}{2}$可得φ=$\frac{π}{6}$，
∴f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$+$\frac{π}{3}$）=2cos2x，
由2kπ≤2x≤2kπ+π可得kπ≤x≤kπ+$\frac{π}{2}$，
∴f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為：[kπ，kπ+$\frac{π}{2}$]（k∈Z），
故答案為：[kπ，kπ+$\frac{π}{2}$]（k∈Z）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，涉及三角函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性和單調(diào)性，屬中檔題．