Question

14．如圖，正方體ABCD=A₁B₁C₁D₁，棱長為a，E、F分別為AB、BC上的點(diǎn)，且AE=BF=x．
（1）當(dāng)三棱椎B₁-BEF的體積最大時(shí)，求二面角B₁-EF-B的正切值；
（2）求異面直線A₁E與B₁F所成的角的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由已知得${V}_{{B}_{1}-BEF}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×（a-x）×x×a$=$\frac{a}{6}（a-x）x$≤$\frac{a}{6}（\frac{a-x+x}{2}）^{2}$=$\frac{{a}^{3}}{24}$，從而當(dāng)x=$\frac{a}{2}$時(shí)，三棱錐B₁-BEF的體積最大．取EF中點(diǎn)O，則∠B₁OB是二面角B₁-EF-B的平面角，由此能求出當(dāng)三棱椎B₁-BEF的體積最大時(shí)，二面角B₁-EF-B的正切值．
（2）在AD上取點(diǎn)H，使AH=BF=AE，則HF∥CD∥A₁B₁，A₁H∥B₁F，從而∠HA₁E（或補(bǔ)角）是異面直線A₁E與B₁F所成的角，由此利用余弦定理能求出異面直線A₁E與B₁F所成的角的取值范圍．

解答 解：（1）∵正方體ABCD=A₁B₁C₁D₁，棱長為a，E、F分別為AB、BC上的點(diǎn)，且AE=BF=x，
∴${V}_{{B}_{1}-BEF}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×（a-x）×x×a$=$\frac{a}{6}（a-x）x$≤$\frac{a}{6}（\frac{a-x+x}{2}）^{2}$=$\frac{{a}^{3}}{24}$，
∴當(dāng)a-x=x，即x=$\frac{a}{2}$時(shí)，三棱錐B₁-BEF的體積最大．
取EF中點(diǎn)O，∵BO⊥EF，B₁O⊥EF，∴∠B₁OB是二面角B₁-EF-B的平面角．
在Rt△BEF中，BO=$\frac{1}{2}EF$=$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}a$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$a，
∴tan∠B₁OB=$\frac{B{B}_{1}}{BO}$=$\frac{a}{\frac{\sqrt{2}}{4}a}$=2$\sqrt{2}$．
∴當(dāng)三棱椎B₁-BEF的體積最大時(shí)，二面角B₁-EF-B的正切值為$2\sqrt{2}$．
（2）在AD上取點(diǎn)H，使AH=BF=AE，則HF∥CD∥A₁B₁，
∵HF=CD=A₁B₁，A₁H∥B₁F，∴∠HA₁E（或補(bǔ)角）是異面直線A₁E與B₁F所成的角，
在Rt△A₁AH中，${A}_{1}H=\sqrt{{a}^{2}+{x}^{2}}$，在Rt△A₁AE中，${A}_{1}E=\sqrt{{a}^{2}+{x}^{2}}$，
在Rt△HAE中，HE=$\sqrt{{x}^{2}+{x}^{2}}$=$\sqrt{2}x$，
在△HA₁E中，cos∠HA₁E=$\frac{{A}_{1}{H}^{2}+{A}_{1}{E}^{2}-E{H}^{2}}{2•{A}_{1}H•{A}_{1}E}$=$\frac{{a}^{2}}{{a}^{2}+{x}^{2}}$，
∵0＜x≤a，∴a²＜x²+a²≤2a²，$\frac{1}{2}≤\frac{{a}^{2}}{{x}^{2}+{a}^{2}}＜1$，
∴$\frac{1}{2}≤cos∠H{A}_{1}E＜1$，
∴異面直線A₁E與B₁F所成的角的取值范圍是[$\frac{1}{2}$，1）．

點(diǎn)評 本題考查三棱椎的體積最大時(shí)，二面角的正切值的求法，考查異面直線所成的角的取值范圍的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意余弦定理的合理運(yùn)用和空間思維能力的培養(yǎng)．