Question

2．已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長是3，線段MN的長是2，M在DD₁上運(yùn)動，N在平面ABCD上運(yùn)動，則M，N的中點P形成的曲面與ABCD面，DCC₁D₁面，ADD₁A₁面所圍成的幾何體的體積是（　�。�

• A． $\frac{4}{3}π$
• B． $\frac{2}{3}π$
• C． $\frac{π}{3}$
• D． $\frac{π}{6}$

Answer 1

分析 根據(jù)題意，連接N點與D點，得到一個直角三角形△NMD，P為斜邊MN的中點，所以|PD|的長度不變，進(jìn)而得到點P的軌跡是球面的一部分，然后利用球的體積公式進(jìn)行求解．

解答 解：如圖可得，端點N在正方形ABCD內(nèi)運(yùn)動，連接N點與D點，由ND，DM，MN構(gòu)成一個直角三角形，
設(shè)P為MN的中點，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線長度為斜邊的一半可得DP=$\frac{1}{2}$MN=1，
不論△MDN如何變化，P點到D點的距離始終等于1．
∴MN的中點P的軌跡是
不論△MDN如何變化，P點到D點的距離始終等于1．
故P點的軌跡是一個以D為中心，半徑為1的球的$\frac{1}{8}$球面積．
體積為$\frac{1}{8}×\frac{4}{3}π×{1}^{3}$=$\frac{π}{6}$．
故選：D．

點評 本題主要考查點的軌跡方程的判斷，考查球的體積公式，綜合性較強(qiáng)．