Question

18．已知（1+sint）（1+cost）=$\frac{5}{4}$，則$\frac{1}{sint}$+$\frac{1}{cost}$的值為-$\frac{4}{3}$-$\frac{2\sqrt{10}}{15}$．

Answer 1

分析 令x=sint+cost=$\sqrt{2}$sin（t+$\frac{π}{4}$）∈[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]，求得x的值，再根據(jù)$\frac{1}{sint}$+$\frac{1}{cost}$=$\frac{cost+sint}{sint•cost}$=$\frac{2x}{{x}^{2}-1}$，求得結(jié)果．

解答 解：∵（1+sint）（1+cost）=1+（sint+cost）+sint$•cost\$=$\frac{5}{4}$，
令x=sint+cost=$\sqrt{2}$sin（t+$\frac{π}{4}$）∈[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]，則x²=1+2sintcost，
∴1+x+$\frac{{x}^{2}-1}{2}$=$\frac{5}{4}$，求得x=$\frac{-2+\sqrt{10}}{2}$，
則$\frac{1}{sint}$+$\frac{1}{cost}$=$\frac{cost+sint}{sint•cost}$=$\frac{x}{\frac{{x}^{2}-1}{2}}$=$\frac{2x}{{x}^{2}-1}$=-$\frac{4}{3}$-$\frac{2\sqrt{10}}{15}$，
故答案為：-$\frac{4}{3}$-$\frac{2\sqrt{10}}{15}$．

點評 本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．