Question

15．已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x）+$\frac{1}{2}cos2x$在（0，+∞）上是減函數(shù)，且?x∈R，有f（-x）+f（x）=2sin²x，則以下大小關(guān)系一定正確的是（　　）

• A． f（$\frac{5π}{6}$）＜f（$\frac{4π}{3}$）
• B． f（$\frac{π}{4}$）＜f（π）
• C． f（-$\frac{5π}{6}$）＜f（-$\frac{4π}{3}$）
• D． f（-$\frac{π}{4}$）＜f（-π）

Answer 1

分析 根據(jù)條件共組函數(shù)，利用函數(shù)恒成立，判斷函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，進(jìn)行比較即可．

解答 解：設(shè)g（x）=f（x）+$\frac{1}{2}cos2x$=f（x）+$\frac{1}{2}$-sin²x，則g（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)，
設(shè)h（x）=f（x）-sin²x，則h（x）在（0，+∞）上也是減函數(shù)，
∵?x∈R，有f（-x）+f（x）=2sin²x，
∴?x∈R，有f（-x）-sin²x=-f（x）+sin²x，
即f（-x）-sin²（-x）=-[f（x）-sin²x]，
則h（-x）=-h（x），
即函數(shù)h（x）是奇函數(shù)，
則h（x）在（-∞，0）上也是減函數(shù)．
則h（-$\frac{5π}{6}$）＜h（-$\frac{4π}{3}$），即f（-$\frac{5π}{6}$）-sin²（-$\frac{5π}{6}$）＜f（-$\frac{4π}{3}$）-sin²（-$\frac{4π}{3}$），
即f（-$\frac{5π}{6}$）-$\frac{1}{4}$＜f（-$\frac{4π}{3}$）-$\frac{3}{4}$，即f（-$\frac{5π}{6}$）-f（-$\frac{4π}{3}$）＜-$\frac{1}{2}$＜0，
即f（-$\frac{5π}{6}$）＜f（-$\frac{4π}{3}$）成立，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)知道單調(diào)性比較，根據(jù)條件判斷函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，難度較大．