Question

7．已知sin⁴θ+cos⁴θ=1，則sinθ-cosθ=±1．

Answer 1

分析 先利用同角三角函數(shù)及二倍角公式對sin⁴θ+cos⁴θ化簡整理求的sin²2θ=0，進而求得θ的值，代入sinθ-cosθ討論求得答案．

解答 解：sin⁴θ+cos⁴θ=（sin²θ+cos²θ）²-2sin²θcos²θ=1-2sin²θcos²θ=1，
∴2sin²θcos²θ=0，
即$\frac{si{n}^{2}2θ}{2}$=0，可得：sin²2θ=0，
∴2θ=kπ，k∈Z，
∴θ=$\frac{kπ}{2}$，
∴sinθ-cosθ=$\sqrt{2}$sin（$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$sin$\frac{π（2k-1）}{4}$，k∈Z，
∴sinθ-cosθ=±1，
故答案為：±1．

點評 本題主要考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系，二倍角公式的應(yīng)用．考查了學(xué)生創(chuàng)造思維和分析問題的能力，屬于中檔題．