Question

6．已知一個(gè)三棱柱ABC-A′B′C′的三視圖由一個(gè)直角三角形和兩個(gè)矩形組成，如圖若M，N分別是A′C′，BC的中點(diǎn)．
（1）求證：MN∥平面ABB′A′；
（2）求直線MN和面BCC′B′所成的角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）取B′C′的中點(diǎn)P，連結(jié)MP，NP，由已知條件推導(dǎo)出平面PMN∥平面ABB′A′，由此能證明MN∥平面ABB′A′．
（2）以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AC為y軸，AA′為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出直線MN和面BCC′B′所成的角的正弦值．

解答 （1）證明：取B′C′的中點(diǎn)P，連結(jié)MP，NP，
∵M(jìn)，N分別是A′C′，BC的中點(diǎn)，
∴MP∥A′B′，PN∥BB′，
∵M(jìn)P∩PN=P，∴平面PMN∥平面ABB′A′，
∵M(jìn)N?平面PMN，∴MN∥平面ABB′A′．
（2）解：∵三棱柱ABC-A′B′C′的三視圖由一個(gè)直角三角形和兩個(gè)矩形組成，
∴由三視圖知∠ABC=90°，AA′⊥面ABC，AA′=2，AB=1，AC=2，
以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AC為y軸，AA′為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
B（1，0，0），C（0，2，0），M（0，1，2），N（$\frac{1}{2}$，1，0），B′（1，0，2），
$\overrightarrow{MN}$=（$\frac{1}{2}$，0，-2），$\overrightarrow{BC}$=（-1，2，0），$\overrightarrow{B{B}^{'}}$=（0，0，2），
設(shè)平面BCC′B′的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}=-x+2y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{B{B}^{'}}=2z=0}\end{array}\right.$，取y=1，得$\overrightarrow{n}$=（2，1，0），
設(shè)直線MN和面BCC′B′所成的角為θ，
則sinθ=|cos＜$\overrightarrow{MN}，\overrightarrow{n}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{MN}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{MN}|•|\overrightarrow{n}|}$|=|$\frac{1}{\sqrt{4+\frac{1}{4}}•\sqrt{5}}$|=$\frac{2\sqrt{85}}{85}$．
∴直線MN和面BCC′B′所成的角的正弦值為$\frac{2\sqrt{85}}{85}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行的證明，考查線面角的正弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．