Question

15．函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}-1（x≥0）}\\{f（x+1）（x＜0）}\end{array}\right.$，若方程f（x）=-x+a有且只有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（　�。�

• A． （-∞，0）
• B． [0，1）
• C． （-∞，1）
• D． [0，+∞）

Answer 1

分析 由題知f（x）為分段函數(shù)，當(dāng)x＜0時(shí)，由f（x）=f（x+1）可知f（x）為周期函數(shù)；當(dāng)x大于等于0時(shí)函數(shù)為增函數(shù)，而方程f（x）=-x+a有且只有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根即f（x）與y=-x+a由兩個(gè)交點(diǎn)，在同一坐標(biāo)系中畫出函數(shù)f（x）的圖象與函數(shù)y=-x+a的圖象，利用數(shù)形結(jié)合，易求出滿足條件實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}-1（x≥0）}\\{f（x+1）（x＜0）}\end{array}\right.$的圖象如圖所示，
作出直線l：y=a-x，向左平移直線l觀察可得函數(shù)y=f（x）
的圖象與函數(shù)y=-x+a的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，
即方程f（x）=-x+a有且只有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
即有a＜1，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查學(xué)生綜合運(yùn)用函數(shù)和方程的能力，以及讓學(xué)生掌握數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想．