Question

14．設(shè){a_n}滿足：a₁=2，a_n+1=S_n+n，n∈N^*，求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析 由已知數(shù)列遞推式可得a_n=S_n-1+（n-1）（n≥2），與原遞推式作差后構(gòu)造等比數(shù)列{a_n+1}，然后由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

解答 解：由a_n+1=S_n+n，得
a_n=S_n-1+（n-1）（n≥2），
兩式作差可得a_n+1-a_n=a_n+1，
即a_n+1=2a_n+1（n≥2），
∴a_n+1+1=2（a_n+1）（n≥2），
∴數(shù)列{a_n+1}從第二項(xiàng)起，構(gòu)成公比為2的等比數(shù)列，
∵a₁=2，∴a₂=a₁+1=3，
則a₂+1=4．
∴${a}_{n}+1=4•{2}^{n-2}={2}^{n}$，
${a}_{n}={2}^{n}-1（n≥2）$．
∴${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{2，n=1}\\{{2}^{n}-1，n≥2}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列遞推式，考查了等比關(guān)系的確定，考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，是中檔題．