Question

19．已知正四棱錐底面正方形的邊長(zhǎng)為4，高與斜高的夾角為30°，求正四棱錐的側(cè)面積、全面積、體積．

Answer 1

分析 利用已知中，正四棱錐底面正方形的邊長(zhǎng)為4cm，高與斜高的夾角為30°，求出正四棱錐的高PO，斜高PE，底面邊心距OE組成直角△POE，求出斜高和高，代入棱錐的側(cè)面積、表面積、體積公式，即可求得答案．

解答 解：（1）如圖，正四棱錐的高PO，斜高PE，底面邊心距OE組成直角△POE．
∵OE=2cm，∠OPE=30°，
∴斜高h(yuǎn)′=PE=$\frac{OE}{sin30°}$=4（cm），
∴S_{正棱錐側(cè)}=$\frac{1}{2}$Ch′=$\frac{1}{2}$×4×4×4=32（cm²），
（2）S_正棱錐全=4²+32=48（cm²）． 
（3）V=$\frac{1}{3}×4×4×\sqrt{16-4}$=$\frac{32\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是棱錐的體積，主要通過(guò)正棱錐的高、斜高、底面邊心距組成的直角三角形尋找到各量的關(guān)系，并求解．