Question

16．已知函數(shù)f（x）=|x-a|．
（1）若不等式f（x）≤3的解集為{x|b≤x≤5}，求a+b的值；
（2）在（1）的條件下，若f（x）+f（x+5）≥m對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）直接利用絕對(duì)值不等式轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)不等式，利用解集求出a，b的值．
（2）利用絕對(duì)值的幾何意義，求出表達(dá)式的最小值，即可得到m 的范圍．

解答 解：（1）不等式f（x）≤3即為|x-a|≤3，
∴a-3≤x≤a+3------2
∵不等式f（x）≤3的解集為{x|b≤x≤5}．
∴$\left\{{\begin{array}{l}{a-3=b}\\{a+3=5}\end{array}}\right.$∴$\left\{{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=-1}\end{array}}\right.$------4．
∴a+b=1------5．
（2）在（1）的條件下，a=2，f（x）=|x-2|------6
f（x）+f（x+5）≥m化為|x-2|+|x+3|≥m對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立，
∵|x-2|+|x+3|≥|（x-2）-（x+3）|=5------8
∴m∈（-∞，5]．------10．

點(diǎn)評(píng) 本題考查絕對(duì)值不等式的解法，絕對(duì)值的幾何意義，考查計(jì)算能力．