Question

8．2015年12月10日開始，武漢淹沒在白色霧霾中，PM2.5濃度在200微克～300微克/立方米的范圍，空氣質(zhì)量維持重度污染．某興趣小組欲研究武昌區(qū)PM2.5濃度大小與患鼻炎人數(shù)多少之前的關(guān)系，他們分別到氣象局與該地區(qū)某醫(yī)院抄錄了12月10日至15日的武昌區(qū)PM2.5濃度大小與該地區(qū)因患鼻炎而就診的人數(shù)，整理得到如下資料：

日期	12月10日	12月11日	12月12日	12月13日	12月14日	12月15日
PM2.5濃度 超過200的部分為x （微克/立方米）	10	11	13	12	8	5
就診人數(shù)y（個）	22	25	29	26	16	12

該興趣小組確定的研究方案是：先從這六組數(shù)據(jù)中選取2組，用剩下的4組數(shù)據(jù)求線性回歸方程，再用被選取的2組數(shù)據(jù)進行實驗．
（Ⅰ）若選取的是10號與15號的兩組數(shù)據(jù)，請根據(jù)11至14號的數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的線性回歸方程；附：對于一組數(shù)據(jù)（x₁，y₁），（x₂，y₂），…（x_n，y_n），其回歸直線$\widehat{y}$=$\widehat{a}$+$\widehat$x的斜率和截距的最小二乘估計分別為：$\stackrel{∧}=\frac{\sum_{i=1}^{n}（{y}_{i}-\overline{y}）（{x}_{i}-\overline{x}）}{\sum_{i=1}^{n}{（{x}_{i}-\overline{x}）}^{2}}，\stackrel{∧}{a}=\overline{y}-\stackrel{∧}\overline{x}$
（Ⅱ）若由線性回歸方程得到的估計數(shù)據(jù)與所選出的檢驗數(shù)據(jù)的誤差均不超過2人，則認為得到的線性方程是理想的，該問該小組所得線性回歸方程是否理想？

Answer 1

分析 （1）求出$\overline{x}，\overline{y}$，代入回歸系數(shù)公式求出$\stackrel{∧}{a}$，$\stackrel{∧}$，得出回歸方程；
（2）用回歸方程檢驗10日和15日的數(shù)據(jù)，觀察真實值與估計值的誤差是否符合條件．

解答 解：（1）$\overline{x}$=$\frac{1}{4}$（11+13+12+8）=11.$\overrightarrow{y}$=$\frac{1}{4}$（25+29+26+16）=24，$\sum_{i=1}^{4}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）$=0×1+2×5+1×2+（-3）×（-8）=36.$\sum_{i=1}^{4}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}$=0+4+1+9=14．
∴$\stackrel{∧}$=$\frac{36}{14}$=$\frac{18}{7}$，$\stackrel{∧}{a}$=24-$\frac{18}{7}×11$=-$\frac{30}{7}$．
所以y關(guān)于x的線性回歸方程為$\stackrel{∧}{y}$=$\frac{18}{7}$x-$\frac{30}{7}$．
（2）當x=10時，$\stackrel{∧}{y}$=$\frac{150}{7}$，|22-$\frac{150}{7}$|=$\frac{4}{7}$＜2，
當x=5時，$\stackrel{∧}{y}$=$\frac{60}{7}$，|12-$\frac{60}{7}$|=$\frac{24}{7}$＞2，
所以該小組所得的線性回歸方程不是理想的．

點評 本題考查了線性回歸方程的求法，屬于基礎(chǔ)題．