Question

18．經(jīng)過拋物線y²=2px（p≠0）的頂點O作兩條弦OA和OB，若弦OA、OB的斜率k₁，k₂恰好是方程x²+6x-4=0的兩個根，則直線AB的斜率為$\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 求出A，B的坐標，可得直線AB的斜率為k=$\frac{{k}_{1}{k}_{2}}{{k}_{1}+{k}_{2}}$，利用韋達定理，即可得出結(jié)論．

解答 解：依題意設(shè)直線OA的方程為y=k₁x與y²=2px，聯(lián)立解得A（$\frac{2p}{{{k}_{1}}^{2}}$，$\frac{2p}{{k}_{1}}$），
同理B（$\frac{2p}{{{k}_{2}}^{2}}$，$\frac{2p}{{k}_{2}}$）
∴直線AB的斜率為k=$\frac{{k}_{1}{k}_{2}}{{k}_{1}+{k}_{2}}$，
∵弦OA、OB的斜率k₁，k₂恰好是方程x²+6x-4=0的兩個根，
∴k₁+k₂=-6，k₁k₂=-4，
∴k=$\frac{{k}_{1}{k}_{2}}{{k}_{1}+{k}_{2}}$=$\frac{2}{3}$．
故答案為：$\frac{2}{3}$．

點評 本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查韋達定理的運用，屬于中檔題．