Question

3．已知雙曲線C：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一個頂點為A，虛軸的一個端點為B，若直線AB與該雙曲線的一條漸近線垂直，則雙曲線C的離心率為（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． 2$\sqrt{2}$
• D． $\frac{3\sqrt{2}}{2}$

Answer 1

分析 求出AB的斜率，結(jié)合直線和漸近線垂直的關(guān)系建立方程求出a，b的關(guān)系進行求解即可．

解答 解：設(shè)A（0，a），B（b，0），
則AB的斜率k=$-\frac{a}$，而雙曲線的漸近線方程為y=±$\frac{a}$x，
∵直線AB與該雙曲線的一條漸近線垂直，
∴$-\frac{a}$•$\frac{a}$=-1，即a=b，
則e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{{a}^{2}+{a}^{2}}}{a}=\sqrt{2}$，
故選：A

點評 本題主要考查雙曲線離心率的計算，根據(jù)直線垂直的關(guān)系建立方程是解決本題的關(guān)鍵．