Question

8．已知$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow$是平面內(nèi)兩個互相垂直的單位向量，若向量$\overrightarrow{c}$滿足（$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow{a}$）•（$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow$）=0，則|$\overrightarrow{c}$|的最大值是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． $\sqrt{2}$
• D． $\frac{\sqrt{2}}{2}$

Answer 1

分析 由向量垂直的條件可得$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=0，運用向量的平方即為模的平方，可得|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=$\sqrt{2}$，再化簡運用向量的數(shù)量積的定義，結(jié)合余弦函數(shù)的值域，即可得到所求最大值．

解答 解：由題意可得$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=0，
可得|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow}$=$\sqrt{2}$，
（$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow{a}$）•（$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow$）=$\overrightarrow{c}$²+$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$-$\overrightarrow{c}$•（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）
=|$\overrightarrow{c}$|²-|$\overrightarrow{c}$|•|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|cos＜（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$＞=0，
即為|$\overrightarrow{c}$|=$\sqrt{2}$cos＜$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$＞，
當(dāng)cos＜$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$＞=1即$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$同向時，
|$\overrightarrow{c}$|的最大值是$\sqrt{2}$．
故選：C．

點評 本題考查向量的模的最值的求法，注意運用向量數(shù)量積的定義和性質(zhì)，考查余弦函數(shù)的值域的運用，屬于中檔題．