Question

20．若$a=\int\begin{array}{l}1\\-1\end{array}\sqrt{1-{x^2}}dx$，則${（{\frac{a}{π}x-\frac{1}{x}}）^6}$的展開式中的常數(shù)項（　�。�

• A． $\frac{5}{2}$
• B． $-\frac{5}{2}$
• C． 20
• D． -15

Answer 1

分析 先根據(jù)定積分的幾何意義求出a的值，再再由二項式展開式的通項公式，令x的次數(shù)為0，即可求得．

解答 解：$a=\int\begin{array}{l}1\\-1\end{array}\sqrt{1-{x^2}}dx$表示以原點(diǎn)為圓心，以1為半徑的圓的面積的二分之一，
故$a=\int\begin{array}{l}1\\-1\end{array}\sqrt{1-{x^2}}dx$=$\frac{π}{2}$，
則${（{\frac{a}{π}x-\frac{1}{x}}）^6}$=（$\frac{x}{2}$-$\frac{1}{x}$）⁶，
其通項公式為C₆^k（$\frac{x}{2}$）^6-k•（-$\frac{1}{x}$）^k=C₆^k（$\frac{1}{2}$）^6-k•（-1）^kx^6-2k，
令6-2k=0，即k=3，
故常數(shù)項為C₆³（$\frac{1}{2}$）^6-3•（-1）³=-$\frac{5}{2}$，
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查定積分的運(yùn)算，考查二項式定理的運(yùn)用求特定項，屬于中檔題．