Question

15．已知函數(shù)f（x）=sinxcos²$\frac{α}{2}$+$\frac{1}{2}$cosxsinα-$\frac{1}{2}$sinx（0＜α＜π）在x=π時(shí)有最小值-$\frac{1}{2}$．
（1）求α的值；
（2）在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C所對的邊，已知a=1，b=$\sqrt{3}$，f（A）=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，求角C的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用化簡可得解析式f（x）=$\frac{1}{2}sin（x+α）$，由x=π時(shí)，$f{（x）_{min}}=-\frac{1}{2}$，解得：sinα=1，結(jié)合范圍0＜α＜π，即可得解α的值；
（Ⅱ）由$f（A）=\frac{1}{2}cosA=\frac{{\sqrt{3}}}{4}$，解得cosA，A的值，利用正弦定理可求sinB，進(jìn)而求得B，利用三角形內(nèi)角和定理可求C的值．

解答 （本小題滿分12分）
解：$f（x）=sinx•\frac{1+cosα}{2}+\frac{1}{2}cosxsinα-\frac{1}{2}sinx（0＜α＜π）$
=$\frac{1}{2}（sinxcosα+cosxsinα）$
=$\frac{1}{2}sin（x+α）$．…（2分）
（Ⅰ）當(dāng)x=π時(shí)，$f{（x）_{min}}=-\frac{1}{2}$即sinα=1，
∵0＜α＜π，
∴$α=\frac{π}{2}$．…（6分）
（Ⅱ）∵$f（x）=\frac{1}{2}cosx$，
∴$f（A）=\frac{1}{2}cosA=\frac{{\sqrt{3}}}{4}$，
∴$cosA=\frac{{\sqrt{3}}}{2}，\;\;A=\frac{π}{6}$，…（8分）
由正弦定理得$\frac{1}{sinA}=\frac{{\sqrt{3}}}{sinB}⇒sinB=\frac{{\sqrt{3}}}{2}⇒B=\frac{π}{3}$或$B=\frac{2π}{3}$，
∴$C=\frac{π}{2}$或$C=\frac{π}{6}$．…（12分）

點(diǎn)評 本題主要考查了三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，正弦定理，三角形內(nèi)角和定理的綜合應(yīng)用，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．