Question

18．已知函數(shù)$f（x）=2sin（{ωx+φ}）（{ω＞0，|φ|≤\frac{π}{2}}）$，其圖象與直線y=-2相鄰兩個交點的距離為π．若f（x）＞1對于任意的$x∈（{-\frac{π}{12}，\frac{π}{6}}）$恒成立，則φ的取值范圍是（　�。�

• A． $[{\frac{π}{6}，\frac{π}{3}}]$
• B． $[{\frac{π}{3}，\frac{π}{2}}]$
• C． $[{\frac{π}{12}，\frac{π}{3}}]$
• D． $（{\frac{π}{6}，\frac{π}{2}}]$

Answer 1

分析 根據(jù)條件先求出函數(shù)的周期，計算出ω的值，根據(jù)不等式恒成立，結(jié)合三角函數(shù)的解法求出不等式的解即可得到結(jié)論．

解答 解：∵函數(shù)$f（x）=2sin（{ωx+φ}）（{ω＞0，|φ|≤\frac{π}{2}}）$，其圖象與直線y=-2相鄰兩個交點的距離為π．
∴函數(shù)的周期T=π，即$\frac{2π}{ω}$=π，即ω=2，
則f（x）=2sin（2x+φ），若f（x）＞1則2sin（2x+φ）＞1，
則sin（2x+φ）＞$\frac{1}{2}$，
若f（x）＞1對于任意的$x∈（{-\frac{π}{12}，\frac{π}{6}}）$恒成立，
故有-$\frac{π}{6}$+φ≥2kπ+$\frac{π}{6}$+，且$\frac{π}{3}$+φ≤2kπ+$\frac{5π}{6}$，求得φ≥2kπ+$\frac{π}{3}$，且φ≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
故φ的取值范圍是[2kπ+$\frac{π}{3}$，2kπ+$\frac{π}{2}$]，k∈Z，
∵|φ|≤$\frac{π}{2}$，
∴當(dāng)k=0時，φ的取值范圍是[$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$]，
故選：B．

點評 本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，根據(jù)條件求出ω的值結(jié)合三角函數(shù)不等式的解法是解決本題的關(guān)鍵．