Question

12．已知f（x）=x+xlnx，若存在實(shí)數(shù)m∈（2，+∞），使得f（m）≤k（m-2）成立，則整數(shù)k的最小取值為（　�。�

• A． 3
• B． 4
• C． 5
• D． 6

Answer 1

分析 由所給不等式可以等價為新函數(shù)F（m）=m+mlnm-k（m-2），m＞2，F(xiàn)（m）＜0恒成立，對F（m）求導(dǎo)，由導(dǎo)函數(shù)得到極大值，只需要極大值小于0即可．

解答 解：∵存在實(shí)數(shù)m∈（2，+∞），使得f（m）≤k（m-2）成立，
∴題干等價于：當(dāng)m＞2時，不等式m+mlnm≤k（m-2）恒成立，
∴記F（m）=m+mlnm-k（m-2），m＞2，即有F（m）＜0恒成立．
令F′（m）=0，解得m=e^k-2，
∴F（m）_max=F（m）_極大值=F（e^k-2）=2k-e^k-2，
當(dāng)k=2時，F(xiàn)（m）_max=4-1＞0不合題意，
當(dāng)k=3時，F(xiàn)（m）_max=6-e＞0不合題意，
當(dāng)k=4時，F(xiàn)（m）_max=8-e²＞0不合題意，
當(dāng)k=5時，F(xiàn)（m）_max=10-e³＜0合題意，
∴整數(shù)k的最小值為：5．
故選：C

點(diǎn)評 本題考查由所給不等式等價轉(zhuǎn)化為新函數(shù)在m＞2時，F(xiàn)（m）＜0恒成立，對F（m）求導(dǎo)，由導(dǎo)函數(shù)得到極大值，只需要極大值小于0即可．