Question

15．已知定義域?yàn)椋?，+∞）的函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），且f（e）=2，$\frac{f（x）}{x}$=lnx•f′（x），則不等式xf（x）＜2e的解集為（1，e）．

Answer 1

分析 首先分析等式$\frac{f（x）}{x}$=lnx•f′（x），構(gòu)造g（x）=$\frac{f（x）}{lnx}$，求導(dǎo)發(fā)現(xiàn)g（x）為常數(shù)函數(shù)，因此得到f（x）的解析式，然后判斷xf（x）的單調(diào)性，從而得到所求．

解答 解：設(shè)g（x）=$\frac{f（x）}{lnx}$，則g'（x）=$\frac{f'（x）lnx-\frac{f（x）}{x}}{（lnx）^{2}}$，因?yàn)?\frac{f（x）}{x}$=lnx•f′（x），所以g'（x）=0，所以g（x）=c，又f（e）=2，所以g（e）=2，所以g（x）=2，所以f（x）=2lnx，
所以不等式xf（x）＜2e為xlnx＜elne，
又x＞1時(shí)，（xlnx）'=lnx+1＞0，所以函數(shù)y=xlnx為增函數(shù)，所以1＜x＜e，
不等式xf（x）＜2e的解集為（1，e）；
故答案為：（1，e）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了構(gòu)造法求函數(shù)的解析式，以及利用導(dǎo)數(shù)判定函數(shù)的單調(diào)性；屬于難題．