Question

1．甲、乙兩大超市同時(shí)開業(yè)，第一年的全年銷售額為a萬元，由于經(jīng)營(yíng)方式不同，甲超市前n年的總銷售額為$\frac{a}{2}$（n²-n+2）萬元，乙超市第n年的銷售額比前一年銷售額多$a{（\frac{2}{3}）}^{n-1}$萬元．
（Ⅰ）求甲、乙兩超市第n年銷售額的表達(dá)式；
（Ⅱ）若其中某一超市的年銷售額不足另一超市的年銷售額的50%，則該超市將被另一超市收購(gòu)，判斷哪一超市有可能被收購(gòu)？如果有這種情況，將會(huì)出現(xiàn)在第幾年？

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用S_n=$\frac{a}{2}$（n²-n+2），即a_n=S_n-S_n-1，可求a_n的表達(dá)式；n≥2時(shí)，b_n-b_n-1=$a{（\frac{2}{3}）}^{n-1}$，利用b_n=b₁+（b₂-b₁）+（b₃-b₂）+…+（b_n-b_n-1），可求b_n的表達(dá)式；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）中a_n，b_n的表達(dá)式，代入求解，計(jì)算可得第7年乙超市的年銷售額不足甲超市的一半，乙超市將被甲超市收購(gòu)．

解答 解：（Ⅰ）假設(shè)甲超市前n年總銷售額為S_n，第n年銷售額為a_n則S_n=$\frac{a}{2}$（n²-n+2）（n≥2），因?yàn)閚=1時(shí)，a₁=a，則n≥2時(shí)，
a_n=S_n-S_n-1=$\frac{a}{2}$（n²-n+2）-$\frac{a}{2}$[（n-1）²-（n-1）+2]=a（n-1），
故a_n=$\left\{\begin{array}{l}{a．n=1}\\{（n-1）a，n≥2}\end{array}\right.$；
設(shè)乙超市第n年銷售額為b_n，
又b₁=a，n≥2時(shí)，b_n-b_n-1=$a{（\frac{2}{3}）}^{n-1}$
故b_n=b₁+（b₂-b₁）+（b₃-b₂）+…+（b_n-b_n-1）=[3-2•（$\frac{2}{3}$）^n-1]a．
顯然n=1也適合，故b_n=[3-2•（$\frac{2}{3}$）^n-1]a（n∈N^*）．
（Ⅱ）當(dāng)n=2時(shí)，a₂=a，b₂=$\frac{5}{3}$a，有a₂＞$\frac{1}{2}$b₂；當(dāng)n=3時(shí)，a₃=2a，b₃=$\frac{19}{9}$a，有a₃＞$\frac{1}{2}$b₃；
當(dāng)n≥4時(shí)，a_n≥3a，而b_n＜3a，故乙超市有可能被收購(gòu)．
當(dāng)n≥4時(shí)，令$\frac{1}{2}$a_n＞b_n，則$\frac{1}{2}$（n-1）a＞[3-2•（$\frac{2}{3}$）^n-1]a，∴n-1＞6-4•（$\frac{2}{3}$）^n-1，即n＞7-4•（$\frac{2}{3}$）^n-1．
又當(dāng)n≥7時(shí)，0＜4•（$\frac{2}{3}$）^n-1＜1，故當(dāng)n∈N^*且n≥7時(shí)，必有n＞7-4•（$\frac{2}{3}$）^n-1．
即第7年乙超市的年銷售額不足甲超市的一半，乙超市將被甲超市收購(gòu)

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)，考查疊加法，考查利用數(shù)列知識(shí)解決實(shí)際問題，確定數(shù)列的通項(xiàng)是關(guān)鍵．