Question

5．已知函數(shù)f（x）=x|x-a|-lnx，若f（x）＞0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 函數(shù)f（x）的定義域為x∈（0，+∞）．由f（x）＞0，得|x-a|＞$\frac{lnx}{x}$，分類討論，分離參數(shù)，求最值，即可求實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：函數(shù)f（x）的定義域為x∈（0，+∞）．
由f（x）＞0，得|x-a|＞$\frac{lnx}{x}$．*
（ⅰ）當(dāng)x∈（0，1）時，|x-a|≥0，$\frac{lnx}{x}$＜0，不等式*恒成立，所以a∈R；
（ⅱ）當(dāng)x=1時，|1-a|≥0，$\frac{lnx}{x}$=0，所以a≠1；       
（ⅲ）當(dāng)x＞1時，不等式*恒成立等價于a＜x-$\frac{lnx}{x}$恒成立或a＞x+$\frac{lnx}{x}$恒成立．
令h（x）=x-$\frac{lnx}{x}$，則h′（x）=$\frac{{x}^{2}-1+lnx}{{x}^{2}}$．
因為x＞1，所以h'（x）＞0，從而h（x）＞1．
因為a＜x-$\frac{lnx}{x}$恒成立等價于a＜（h（x））_min，所以a≤1．
令g（x）=x+$\frac{lnx}{x}$，則g′（x）=$\frac{{x}^{2}+1-lnx}{{x}^{2}}$．
再令e（x）=x²+1-lnx，則e′（x）=2x-$\frac{1}{x}$＞0在x∈（1，+∞）上恒成立，e（x）在x∈（1，+∞）上無最大值．
綜上所述，滿足條件的a的取值范圍是（-∞，1）．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)知識的綜合運用，考查恒成立問題，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．