Question

8．已知數(shù)列{a_n}，{b_n}滿足a₁=5，a_n=2a_n-1+3^n-1（n≥2，n∈N^*），b_n=a_n-3ⁿ（n∈N^*）
（1）求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式．
（2）求數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 （1）通過(guò)對(duì)a_n=2a_n-1+3^n-1（n≥2，n∈N^*）兩邊同時(shí)除以3ⁿ、變形可知$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$-1=$\frac{2}{3}$（$\frac{{a}_{n-1}}{{3}^{n-1}}$-1）（n≥2，n∈N^*），進(jìn)而可知數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$-1}是首項(xiàng)、公比均為$\frac{2}{3}$的等比數(shù)列，計(jì)算即得結(jié)論；
（2）通過(guò)（1）可知a_n=2ⁿ+3ⁿ，進(jìn)而利用等比數(shù)列的求和公式計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：（1）∵a_n=2a_n-1+3^n-1（n≥2，n∈N^*），
∴$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$=$\frac{2}{3}$•$\frac{{a}_{n-1}}{{3}^{n-1}}$+$\frac{1}{3}$（n≥2，n∈N^*），
整理得：$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$-1=$\frac{2}{3}$（$\frac{{a}_{n-1}}{{3}^{n-1}}$-1）（n≥2，n∈N^*），
又∵$\frac{{a}_{1}}{3}$-1=$\frac{5}{3}$-1=$\frac{2}{3}$，
∴數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$-1}是首項(xiàng)、公比均為$\frac{2}{3}$的等比數(shù)列，
∴$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$-1=$\frac{{2}^{n}}{{3}^{n}}$，
∴a_n=2ⁿ+3ⁿ，
∴b_n=a_n-3ⁿ=2ⁿ；
（2）由（1）可知a_n=2ⁿ+3ⁿ，
∴S_n=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$+$\frac{3（1-{3}^{n}）}{1-3}$=2ⁿ⁺¹+$\frac{{3}^{n+1}}{2}$-$\frac{7}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．