Question

16．已知函數(shù)$f（x）=\sqrt{3}sin（ωx+φ）（ω＞0，-\frac{π}{2}≤φ＜\frac{π}{2}）$的圖象關(guān)于直線$x=\frac{π}{3}$對(duì)稱，且圖象上相鄰兩個(gè)最高點(diǎn)的距離為π．
（1）求ω和φ的值；
（2）當(dāng)$x∈[0，\frac{π}{2}]$時(shí)，求函數(shù)y=f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）由題意易得周期為π，可得ω，再由對(duì)稱軸可得φ值；
（2）利用（1）可得解析式，由x范圍結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)可得最值．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）圖象上相鄰兩個(gè)最高點(diǎn)的距離為π，
∴?（x）的最小正周期T=π，∴ω=$\frac{2π}{T}$=2，
又∵f（x）圖象關(guān)于直線x=$\frac{π}{3}$對(duì)稱，
∴2×$\frac{π}{3}$+φ=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
∵-$\frac{π}{2}$≤φ＜$\frac{π}{2}$，∴φ=-$\frac{π}{6}$．
（2）由（1）知f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$），
∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，
∴2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，
∴sin（2x-$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，
∴f（x）_min=f（0）=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，f（x）_max=f（$\frac{π}{3}$）=$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，涉及三角函數(shù)的對(duì)稱性和最值，屬中檔題．