Question

6．已知函數(shù)f（x）=|x-m|+|x+$\frac{4}{m}$|（m＞0）．
（Ⅰ）證明：f（x）≥4；
（Ⅱ）若f（2）＜5，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由條件利用絕對(duì)值的意義證得不等式f（x）≥4成立．
（Ⅱ）由f（2）＜5可得|2-m|+|2+$\frac{4}{m}$|＜5，即 $\left\{\begin{array}{l}{0＜m＜2}\\{2-m+2+\frac{4}{m}＜5}\end{array}\right.$ ①，或 $\left\{\begin{array}{l}{m≥2}\\{m-2+2+\frac{4}{m}＜5}\end{array}\right.$②．分別求得①②的解集，再取并集，即得所求．

解答 （Ⅰ）證明：∵函數(shù)f（x）=|x-m|+|x+$\frac{4}{m}$|≥|x+$\frac{4}{m}$-（x-m）|=|$\frac{4}{m}$+m|=$\frac{4}{m}$+m≥2$\sqrt{4}$=4，
當(dāng)且即當(dāng)$\frac{4}{m}$=m，即m=2時(shí)，取等號(hào)，∴f（x）≥4．
（Ⅱ）∵f（2）＜5，即|2-m|+|2+$\frac{4}{m}$|＜5，$\left\{\begin{array}{l}{0＜m＜2}\\{2-m+2+\frac{4}{m}＜5}\end{array}\right.$ ①，或 $\left\{\begin{array}{l}{m≥2}\\{m-2+2+\frac{4}{m}＜5}\end{array}\right.$②．
解①求得 $\frac{\sqrt{17}-1}{2}$＜m＜2；解②求得2≤m＜4，綜上可得，不等式的解集為{m|$\frac{\sqrt{17}-1}{2}$＜m＜4}．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查絕對(duì)值的意義，絕對(duì)值不等式的解法，關(guān)鍵是去掉絕對(duì)值，化為與之等價(jià)的不等式組來(lái)解，屬于中檔題．