如圖所示,在三棱錐PABQ中,PB⊥平面ABQ,BA=BP=BQ,D、C、E、F分別是AQ,BQ,AP,BP的中點(diǎn),AQ=2BD,PD與EQ交于點(diǎn)G,PC與FQ交于點(diǎn)H,連接GH.

(1)求證:AB∥GH;

(2)求二面角DGHE的余弦值.


 (1)證明:由D、C、E、F分別是AQ,BQ,AP,BP的中點(diǎn),知G,H分別是△PAQ,△PBQ的重心.

∴==.

∴GH∥DC.

又D,C為AQ,BQ的中點(diǎn),則DC∥AB,

∴AB∥GH.

(2)解:在△ABQ中,

AQ=2BD,AD=DQ,

所以∠ABQ=90°,即AB⊥BQ,

因?yàn)镻B⊥平面ABQ,

所以AB⊥PB.

又BP∩BQ=B,

所以AB⊥平面PBQ.

由(1)知AB∥GH,所以GH⊥平面PBQ.

又FH⊂平面PBQ,所以GH⊥FH.

同理可得GH⊥HC,

所以∠FHC為二面角DGHE的平面角.

設(shè)BA=BQ=BP=2,連接FC,

在Rt△FBC中,由勾股定理得FC=,

在Rt△PBC中,由勾股定理得PC=.

又H為△PBQ的重心,

所以HC=PC=.同理FH=.

在△FHC中,由余弦定理得

cos∠FHC===-.

即二面角DGHE的余弦值為-.


練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：


如圖,點(diǎn)O為正方體ABCDA′B′C′D′的中心,點(diǎn)E為平面B′BCC′的中心,點(diǎn)F為B′C′的中點(diǎn),則空間四邊形D′OEF在該正方體的各個(gè)面上的投影可能是　　　　(填出所有可能的序號(hào)). 

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設(shè)平面α∥平面β,A∈α,B∈β,C是AB的中點(diǎn),當(dāng)A、B分別在α、β內(nèi)移動(dòng)時(shí),那么所有的動(dòng)點(diǎn)C(　　)

(A)不共面

(B)當(dāng)且僅當(dāng)A、B在兩條相交直線上移動(dòng)時(shí)才共面

(C)當(dāng)且僅當(dāng)A、B在兩條給定的平行直線上移動(dòng)時(shí)才共面

(D)不論A、B如何移動(dòng)都共面

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如圖所示,四邊形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°.將△ADB沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,構(gòu)成三棱錐ABCD,則在三棱錐ABCD中,下列結(jié)論正確的是(　　)

(A)平面ABD⊥平面ABC    (B)平面ADC⊥平面BDC

(C)平面ABC⊥平面BDC    (D)平面ADC⊥平面ABC

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：


已知a、b、l表示三條不同的直線,α、β、γ表示三個(gè)不同的平面,有下列四個(gè)命題:

①若α∩β=a,β∩γ=b,且a∥b,則α∥γ;

②若a、b相交,且都在α、β外,a∥α,a∥β,b∥α,b∥β,則α∥β;

③若α⊥β,α∩β=a,b⊂β,a⊥b,則b⊥α;

④若a⊂α,b⊂α,l⊥a,l⊥b,l⊄α,則l⊥α.

其中正確命題的序號(hào)是　　　　. 

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正方體ABCDA1B1C1D1的棱長(zhǎng)為a,點(diǎn)M在AC1上且=,N為B1B的中點(diǎn),則||為(　　)

(A)a (B)a  (C)a (D)a

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直三棱柱ABCA′B′C′中,AC=BC=AA′,∠ACB=90°,D、E分別為AB、BB′的中點(diǎn).

(1)求證:CE⊥A′D;

(2)求異面直線CE與AC′所成角的余弦值.

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空間中兩個(gè)有一條公共邊AD的正方形ABCD與ADEF,設(shè)M,N分別是BD,AE的中點(diǎn),給出如下命題:①AD⊥MN;②MN∥平面CDE;③MN∥CE;④MN,CE異面.

則所有的正確命題為　　　　. 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：


已知a，b，μ∈R＋，且＋＝1，則使得a＋b≥μ恒成立的μ的取值范圍是________．

圖K38­1

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