Question

18．已知平面向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow$滿足|$\overrightarrow$|=2，$\overrightarrow$⊥（2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$），求|t$\overrightarrow$+（1-2t）$\overrightarrow{a}$|（t∈R）的最小值．

Answer 1

分析 分別作出令$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow$，由條件可得CD⊥AD，再令$\overrightarrow{BH}$=$\overrightarrow{a}$+t（$\overrightarrow$-2$\overrightarrow{a}$），由圖形可得當(dāng)BH⊥CD時，|t$\overrightarrow$+（1-2t）$\overrightarrow{a}$|最小，再由中位線定理，可得最小值．

解答 解：∵|$\overrightarrow$|=2，$\overrightarrow$⊥（2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$），
∴$\overrightarrow$•（2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）=0，
令$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow$，CD⊥AD，
由t$\overrightarrow$+（1-2t）$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{a}$+t（$\overrightarrow$-2$\overrightarrow{a}$），
令$\overrightarrow{BH}$=$\overrightarrow{a}$+t（$\overrightarrow$-2$\overrightarrow{a}$），
當(dāng)BH⊥CD時，|t$\overrightarrow$+（1-2t）$\overrightarrow{a}$|最小，
由B為中點，且AD∥BH，
則BH為中位線，且為$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$×2=1，
故最小值為1．

點評 本題主要考查兩個向量的加減法的法則，以及幾何意義，向量的模的定義，求向量的模的方法，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．