Question

3．函數(shù)f（x）=2sinx+sin2x的值域是[-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3\sqrt{3}}{2}$]．

Answer 1

分析 由題意可得T=2π是f（x）的一個周期，問題轉(zhuǎn)化為f（x）在[0，2π）上的值域，求導數(shù)計算極值和端點值，比較可得．

解答 解：由題意可得T=2π是f（x）=2sinx+sin2x的一個周期，
故只需考慮f（x）=2sinx+sin2x在[0，2π）上的值域，
先來求該函數(shù)在[0，2π）上的極值點，
求導數(shù)可得f′（x）=2cosx+2cos2x
=2cosx+2（2cos²x-1）=2（2cosx-1）（cosx+1），
令f′（x）=0可解得cosx=$\frac{1}{2}$或cosx=-1，
可得此時x=$\frac{π}{3}$，π或$\frac{5π}{3}$；
∴y=2sinx+sin2x的最大值和最小值只能在點x=$\frac{π}{3}$，π或$\frac{5π}{3}$和邊界點x=0中取到，
計算可得f（$\frac{π}{3}$）=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，f（π）=0，f（$\frac{5π}{3}$）=-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，f（0）=0，
∴函數(shù)的最小值為-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，最大值為$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，即函數(shù)的值域為[-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3\sqrt{3}}{2}$]．
故答案為：[-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3\sqrt{3}}{2}$]

點評 本題考查三角函數(shù)恒等變換，涉及導數(shù)法求函數(shù)區(qū)間的最值，屬中檔題．