3.函數(shù)f(x)=2sinx+sin2x的值域是[-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$,$\frac{3\sqrt{3}}{2}$].

分析 由題意可得T=2π是f(x)的一個周期,問題轉(zhuǎn)化為f(x)在[0,2π)上的值域,求導數(shù)計算極值和端點值,比較可得.

解答 解:由題意可得T=2π是f(x)=2sinx+sin2x的一個周期,
故只需考慮f(x)=2sinx+sin2x在[0,2π)上的值域,
先來求該函數(shù)在[0,2π)上的極值點,
求導數(shù)可得f′(x)=2cosx+2cos2x
=2cosx+2(2cos2x-1)=2(2cosx-1)(cosx+1),
令f′(x)=0可解得cosx=$\frac{1}{2}$或cosx=-1,
可得此時x=$\frac{π}{3}$,π或$\frac{5π}{3}$;
∴y=2sinx+sin2x的最大值和最小值只能在點x=$\frac{π}{3}$,π或$\frac{5π}{3}$和邊界點x=0中取到,
計算可得f($\frac{π}{3}$)=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$,f(π)=0,f($\frac{5π}{3}$)=-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$,f(0)=0,
∴函數(shù)的最小值為-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$,最大值為$\frac{3\sqrt{3}}{2}$,即函數(shù)的值域為[-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$,$\frac{3\sqrt{3}}{2}$].
故答案為:[-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$,$\frac{3\sqrt{3}}{2}$]

點評 本題考查三角函數(shù)恒等變換,涉及導數(shù)法求函數(shù)區(qū)間的最值,屬中檔題.

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