Question

5．根據(jù)某水文觀測(cè)點(diǎn)的歷史統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，得到某河流水位X（單位：米）的頻率分布直方圖如圖：將河流水位在以上6段的頻率作為相應(yīng)段的概率，并假設(shè)每年河流水位互不影響．

（1）求未來三年，至多有1年河流水位X∈[27，31）的概率（結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示）；
（2）該河流對(duì)沿河A企業(yè)影響如下：當(dāng)X∈[23，27）時(shí)，不會(huì)造成影響；當(dāng)X∈[27，31）時(shí)，損失10000元；當(dāng)X∈[31，35）時(shí)，損失60000元，為減少損失，現(xiàn)有種應(yīng)對(duì)方案：
方案一：防御35米的最高水位，需要工程費(fèi)用3800元；
方案二：防御不超過31米的水位，需要工程費(fèi)用2000元；
方案三：不采取措施；
試比較哪種方案較好，并請(qǐng)說理由．

Answer 1

分析 （1）由二項(xiàng)分布求出未來3年，至多有1年河流水位X∈[27，31）的概率值；
（2）由隨機(jī)變量的分布列與均值，計(jì)算方案一、二、三的損失是多少，比較選用哪種方案最好．

解答 解：（1）由二項(xiàng)分布得，在未來3年，至多有1年河流水位X∈[27，31）的概率為：
P=${C}_{3}^{0}$•${（\frac{3}{4}）}^{3}$+${C}_{3}^{1}$•${（\frac{3}{4}）}^{2}$•$\frac{1}{4}$=$\frac{27}{32}$，
所以在未來3年，至多有1年河流水位X∈[27，31）的概率為$\frac{27}{32}$；
（2）由題意知，P（23≤X＜27）=0.74，
P（27≤X＜31）=0.25，
P（31≤X≤35）=0.01；
用X₁、X₂、X₃分別表示采取方案一、二、三的損失，
由題意知，X₁=3800，X₂的分布列如下；

X2	2000	62000
P	0.99	0.01

所以E（X₂）=2000×0.99+62000×0.01=2600；
X₃的分布列如下，

X3	0	10000	60000
P	0.74	0.25	0.01

E（X₃）=60000×0.01+10000×0.25=3100；
因?yàn)椴捎梅桨付�的損失最小，所以采用方案二最好．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二項(xiàng)分布的應(yīng)用問題，也考查了求隨機(jī)變量的分布列與均值的應(yīng)用問題，是綜合性題目．