Question

11．在△ABC中，三內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，設(shè)向量$\overrightarrow{p}$=（b+a，c），向量$\overrightarrow{q}$=（b-c，b-a），且$\overrightarrow{p}$∥$\overrightarrow{q}$．
（Ⅰ）求A的大��；
（Ⅱ）若sinB•sinC=$\frac{3}{4}$，判定△ABC的形狀．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)向量共線的等價(jià)條件，建立方程關(guān)系，結(jié)合余弦定理進(jìn)行求解即可．
（Ⅱ）根據(jù)兩角和差的余弦公式進(jìn)行化簡(jiǎn)即可．

解答 解：（Ⅰ）∵向量$\overrightarrow{p}$=（b+a，c），向量$\overrightarrow{q}$=（b-c，b-a），且$\overrightarrow{p}$∥$\overrightarrow{q}$．
∴（b+a）（b-a）-c（b-c）=0．
即b²-a²-bc+c²=0，
b²+c²-a²=bc，
則cosA=$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{bc}{2bc}$=$\frac{1}{2}$，
則A=$\frac{π}{3}$；
（Ⅱ）若sinB•sinC=$\frac{3}{4}$，
cosA=-cos（B+C）=-cosBcosC+sinBsinC，
即$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{4}$-cosBcosC，
則cosBcosC=$\frac{1}{4}$，
則cosB＞0，cosC＞0，
即B，C是銳角，
則△ABC的形狀為銳角三角形．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查解三角形的應(yīng)用，利用向量共線的等價(jià)條件，結(jié)合余弦定理以及兩角和差的余弦公式是解決本題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的運(yùn)算能力．