Question

19．已知各項(xiàng)都不相等的等差數(shù)列{a_n}，a₄=10，又a₁，a₂，a₆成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=2${\;}^{{a}_{n}}$+2n，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 （1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}首項(xiàng)為a₁，公差為d，可得：a₁+3d=10，①，（a₁+d）²=a₁（a₁+5d），②，由①②可解得：a₁，d，即可得解．
（2）由（1）可知：b_n=2^3n-2+2n，利用等比（等差）數(shù)列的求和公式即可得解．

解答 解：（1）∵a₄=10，設(shè)等差數(shù)列{a_n}首項(xiàng)為a₁，公差為d，可得：a₁+3d=10，①
∵a₁，a₂，a₆成等比數(shù)列，可得：（a₁+d）²=a₁（a₁+5d），②
∴由①②可解得：a₁=1，d=3，
∴a_n=3n-2…6分
（2）由（1）可知：b_n=2^3n-2+2n，
所以，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n=b₁+b₂+…+b_n
=（2+2⁴+2⁷+…+2^3n-2）+2（1+2+…+n）
=$\frac{2（1-{8}^{n}）}{1-8}$+2$•\frac{（1+n）n}{2}$
=$\frac{2}{7}$（8ⁿ-1）+n（n+1）…12分

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了等比數(shù)列，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，求和公式的應(yīng)用，屬于基本知識(shí)的考查．