Question

9．已知集合M={m|m=a+b$\sqrt{2}$，a，b∈Q}，則下列元素中屬于集合M的有（　�。�
①m=1+$\sqrt{2}$π；②m=$\sqrt{7+2\sqrt{12}}$；③m=$\frac{1}{2+\sqrt{2}}$；④m=$\sqrt{2-\sqrt{3}}+\sqrt{2+\sqrt{3}}$．

• A． 0個
• B． 1個
• C． 2個
• D． 3個

Answer 1

分析 ①由于π∉Q，即可判斷出m與M的關(guān)系；
②由于m=$\sqrt{（\sqrt{4}+\sqrt{3}）^{2}}$=2+$\sqrt{3}$，即可判斷出m與M的關(guān)系；
③由m=$\frac{2-\sqrt{2}}{2}$=1-$\frac{1}{2}\sqrt{2}$，即可判斷出m與M的關(guān)系；
④由m²=4+2$\sqrt{（2-\sqrt{3}）（2+\sqrt{3}）}$=6，即可判斷出m與M的關(guān)系．

解答 解：①∵π∉Q，∴m∉M；
②∵m=$\sqrt{7+2\sqrt{12}}$=$\sqrt{（\sqrt{4}+\sqrt{3}）^{2}}$=2+$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}≠\sqrt{2}$，∴m∉M；
③∵m=$\frac{1}{2+\sqrt{2}}$=$\frac{2-\sqrt{2}}{2}$=1-$\frac{1}{2}\sqrt{2}$，a=1，b=-$\frac{1}{2}$，∴m∈M；
④∵m=$\sqrt{2-\sqrt{3}}+\sqrt{2+\sqrt{3}}$，∴m²=4+2$\sqrt{（2-\sqrt{3}）（2+\sqrt{3}）}$=6，∴m=$\sqrt{6}$∉M．
綜上可得：只有③滿足條件．
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查了元素與集合之間的關(guān)系、根式的運(yùn)算性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．