Question

19．在直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2+2cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），在極坐標(biāo)系（與直角坐標(biāo)系xOy取相同的單位長度，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸）中，直線l的方程為ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）=2$\sqrt{2}$．
（Ⅰ）求圓C的極坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）設(shè)圓C與直線l交于點(diǎn)A，B，求|AB|．

Answer 1

分析 （I）利用cos²θ+sin²θ=1可把圓C的參數(shù)方程化為普通方程，再利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\\{{ρ}^{2}={x}^{2}+{y}^{2}}\end{array}\right.$化為極坐標(biāo)方程．
（II）直線l的方程為ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）=2$\sqrt{2}$，展開可得直角坐標(biāo)方程．求出圓心C到直線l的距離d，利用弦長公式|AB|=2$\sqrt{{r}^{2}-9fn1bo7^{2}}$即可得出．

解答 解：（I）圓C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2+2cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），化為（x-2）²+y²=4，即x²+y²-4x=0，化為極坐標(biāo)方程：ρ²-4ρcosθ=0，即ρ=4cosθ．
（II）直線l的方程為ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）=2$\sqrt{2}$，展開化為：$\frac{\sqrt{2}}{2}$（ρsinθ+ρcosθ）=2$\sqrt{2}$，可得直角坐標(biāo)方程：y+x-4=0．
由（I）可知：圓C的圓心C（2，0），半徑r=2．
∴圓心C到直線l的距離d=$\frac{|2+0-4|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴|AB|=2$\sqrt{{r}^{2}-b1ygebw^{2}}$=2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了參數(shù)方程化為普通方程、極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、點(diǎn)到直線的距離公式、直線與圓相交弦長問題，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．