Question

1．已知二次函數(shù)f（x）滿足f（x+1）-f（x）=-2x+1且f（2）=15．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）令g（x）=（2-2m）x-f（x）；
①若函數(shù)g（x）在x∈[0，2]上是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
②求函數(shù)g（x）在x∈[0，2]的最小值．

Answer 1

分析 （1）據(jù)二次函數(shù)的形式設(shè)出f（x）的解析式，將已知條件代入，列出方程，令方程兩邊的對(duì)應(yīng)系數(shù)相等解得．
（2）函數(shù)g（x）的圖象是開口朝上，且以x=m為對(duì)稱軸的拋物線，
①若函數(shù)g（x）在x∈[0，2]上是單調(diào)函數(shù)，則m≤0，或m≥2；
②分當(dāng)m≤0時(shí)，當(dāng)0＜m＜2時(shí)，當(dāng)m≥2時(shí)三種情況分別求出函數(shù)的最小值，可得答案．

解答 解：（1）設(shè)f（x）=ax²+bx+c，
∵f（2）=15，f（x+1）-f（x）=-2x+1，
∴4a+2b+c=15；a（x+1）²+b（x+1）+c-（ax²+bx+c）=-2x+1；
∴2a=-2，a+b=1，4a+2b+c=15，解得a=-1，b=2，c=15，
∴函數(shù)f（x）的表達(dá)式為f（x）=-x²+2x+15；
（2）∵g（x）=（2-2m）x-f（x）=x²-2mx-15的圖象是開口朝上，且以x=m為對(duì)稱軸的拋物線，
①若函數(shù)g（x）在x∈[0，2]上是單調(diào)函數(shù)，則m≤0，或m≥2；
②當(dāng)m≤0時(shí)，g（x）在[0，2]上為增函數(shù)，當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)g（x）取最小值-15；
當(dāng)0＜m＜2時(shí)，g（x）在[0，m]上為減函數(shù)，在[m，2]上為增函數(shù)，當(dāng)x=m時(shí)，函數(shù)g（x）取最小值-m²-15；
當(dāng)m≥2時(shí)，g（x）在[0，2]上為減函數(shù)，當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)g（x）取最小值-4m-11；
∴函數(shù)g（x）在x∈[0，2]的最小值為$\left\{\begin{array}{l}-15，m≤0\\-{m}^{2}-15，0＜m＜2\\-4m-11，m≥2\end{array}\right.$

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解答的關(guān)鍵．