Question

13．已知函數(shù)f（x）=1og_ax，g（x）=2log_a（2x+2）（a＞0且a≠1）
（1）判斷函數(shù)h（x）=x+$\frac{1}{x}$（x＞0）的單調(diào)性并證明：
（2）當(dāng)x∈[1，2]，且F（x）=g（x）-f（x）有最小值-2時(shí)，求a的值．

Answer 1

分析 （1）函數(shù)h（x）=x+$\frac{1}{x}$（x＞0）在（0，1）遞減，在（1，+∞）遞增．運(yùn)用單調(diào)性的定義，即可得證；
（2）F（x）=g（x）-f（x）=2log_a（2x+2）-1og_ax=log_a$\frac{4（x+1）^{2}}{x}$=log_a4（x+$\frac{1}{x}$+2），由（1）的結(jié)論，討論a＞1，0＜a＜1的單調(diào)性，求得最小值，解方程可得a的值．

解答 解：（1）函數(shù)h（x）=x+$\frac{1}{x}$（x＞0）在（0，1）遞減，在（1，+∞）遞增．
證明：設(shè)0＜m＜n，h（m）-h（n）=（m+$\frac{1}{m}$）-（n+$\frac{1}{n}$）
=（m-n）（1-$\frac{1}{mn}$），
當(dāng)0＜m＜n＜1，可得m-n＜0，0＜mn＜1，即1-$\frac{1}{mn}$＜0，
即有h（m）-h（n）＞0，則h（x）在（0，1）遞減；
當(dāng)1＜m＜n，可得m-n＜0，mn＞1，即1-$\frac{1}{mn}$＞0，
即有h（m）-h（n）＜0，則h（x）在（1，+∞）遞增．
（2）F（x）=g（x）-f（x）=2log_a（2x+2）-1og_ax
=log_a$\frac{4（x+1）^{2}}{x}$=log_a4（x+$\frac{1}{x}$+2），
當(dāng)a＞1時(shí)，F(xiàn)（x）在[1，2]遞增，即有x=1取得最小值，
即為log_a16=-2，即a^-2=16，解得a=$\frac{1}{4}$＜1不成立；
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，F(xiàn)（x）在[1，2]遞減，即有x=2取得最小值，
即為log_a18=-2，即a^-2=18，解得a=$\frac{\sqrt{2}}{6}$＜1，成立．
綜上可得a=$\frac{\sqrt{2}}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的單調(diào)性的判斷和運(yùn)用，考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性：同增異減，運(yùn)用分類討論的思想方法是解題的關(guān)鍵．