Question

10．已知F₁，F(xiàn)₂分別是雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左右焦點，若在雙曲線的右支上存在一點M，使得（$\overrightarrow{OM}$+$\overrightarrow{O{F}_{2}}$）•$\overrightarrow{{F}_{2}M}$=0 （其中O為坐標原點），且|$\overrightarrow{M{F}_{1}}$|=$\sqrt{3}$|$\overrightarrow{M{F}_{2}}$|，則雙曲線的離心率為（　　）

• A． $\sqrt{5}$-1
• B． $\frac{\sqrt{3}+1}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{5}+1}{2}$
• D． $\sqrt{3}$+1

Answer 1

分析 依題意雙曲線右支上存在一點M，使得（$\overrightarrow{OM}$+$\overrightarrow{O{F}_{2}}$）•$\overrightarrow{{F}_{2}M}$=0判斷出∠F₁MF₂=90°，設出|MF₂|=t，則|MF₁|=$\sqrt{3}$t，進而利用雙曲線定義可用t表示出a，根據(jù)勾股定理求得t和c的關系，最后可求得雙曲線的離心率．

解答 解：∵雙曲線右支上存在一點M，使得（$\overrightarrow{OM}$+$\overrightarrow{O{F}_{2}}$）•$\overrightarrow{{F}_{2}M}$=0，
∴∠F₁MF₂=90°
設|MF₂|=t，則|MF₁|=$\sqrt{3}$t，
∴a=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$t，
∵t²+3t²=4c²，∴t=c
∴e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{3}$+1
故選：D．

點評 本題主要考查了雙曲線的簡單性質．考查了學生對雙曲線定義的理解和靈活運用．