Question

2．定義在[1，+∞）上的函數(shù)f（x）滿足：①f（2x）=cf（x）（c為正常數(shù)）；②當(dāng)2≤x≤4時(shí)，f（x）=（x-3）²+1若函數(shù)f（x）的圖象上所有極小值對(duì)應(yīng)的點(diǎn)均在同一條直線上，則c=（　�。�

• A． 1
• B． 2
• C． 1或2
• D． 2或4

Answer 1

分析 分別求出當(dāng)1≤x≤2時(shí)和4≤x≤8時(shí)函數(shù)的解析式，再結(jié)合已知2≤x≤4時(shí)的解析式，分別求出每段的最小值，由三點(diǎn)共線可求出c的值．

解答 解：由已知可得，當(dāng)1≤x≤2時(shí)，$f（x）=\frac{1}{c}f（2x）=\frac{1}{c}[（2x-3）^{2}+1]$，
當(dāng)2≤x≤4時(shí)，f（x）=（x-3）²+1，
當(dāng)4≤x≤8時(shí)，$f（x）=cf（\frac{x}{2}）=c[（\frac{x}{2}-3）^{2}+1]$；
由題意可知函數(shù)f（x）的圖象上的極小值對(duì)應(yīng)的點(diǎn)$（\frac{3}{2}，\frac{1}{c}）$，（3，1），（6，c）共線，
則$\frac{1-\frac{1}{c}}{\frac{3}{2}}=\frac{c-1}{3}$，∴c=1或c=2．
c=2時(shí)，f（4）=2f（2）與f（2）=f（4）=2矛盾．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了，分段函數(shù)的最值，運(yùn)用了化歸思想，屬于中檔題．