Question

12．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-lnx，0＜x≤e}\\{a（x+e），x＞e}\end{array}\right.$是（0，+∞）上的減函數(shù)，且對任意m∈（0，e]，n∈（e，+∞）有f（$\frac{m+n}{2}$）$＜\frac{1}{2}$[f（m）+f（n）]，那么實數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． a＜-$\frac{1}{e}$
• B． a$≤-\frac{1}{2e}$
• C． -1≤a＜0
• D． -$\frac{1}{e}$＜a≤-$\frac{1}{2e}$

Answer 1

分析 由分段函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-lnx，0＜x≤e}\\{a（x+e），x＞e}\end{array}\right.$是（0，+∞）上的減函數(shù)知$\left\{\begin{array}{l}{a＜0}\\{a（e+e）≤-lne}\end{array}\right.$，從而解得可排除C，再令a=-1，從而代入可排除A，B；從而確定答案．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-lnx，0＜x≤e}\\{a（x+e），x＞e}\end{array}\right.$是（0，+∞）上的減函數(shù)，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a＜0}\\{a（e+e）≤-lne}\end{array}\right.$，
解得，a≤-$\frac{1}{2e}$；
故排除C；
當a=-1時，
函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-lnx，0＜x≤e}\\{a（x+e），x＞e}\end{array}\right.$的圖象如右圖，
對任意m∈（0，e]，n∈（e，+∞）有f（$\frac{m+n}{2}$）$＜\frac{1}{2}$[f（m）+f（n）]不能成立，
故排除A，B；
故選D．

點評 本題考查了分段函數(shù)的應用及數(shù)形結合的思想應用，同時考查了排除法的應用，屬于中檔題．