Question

10．已知函數(shù)f（x）=e^x
（Ⅰ）證明：當x≠0時，（1-x）f（x）＜1；
（Ⅱ）證明：當a≠b時，$\frac{f（a）-f（b）}{a-b}$＜$\frac{f（a）+f（b）}{2}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先構(gòu)造函數(shù)g（x）=（1-x）f（x），根據(jù)導數(shù)和函數(shù)最值的關(guān)系即可證明；
（Ⅱ）不防設(shè)a＜b，記g（x）=[f（x）+f（a）]（x-a）-2[f（x）-f（a）]，分別兩次求導，求出函數(shù)的最值，即可證明．

解答 證明：（Ⅰ）設(shè)g（x）=（1-x）f（x）=（1-x）e^x，
∴g′（x）=-xe^x，
當g′（x）＞0時，即x＜0，函數(shù)g（x）單調(diào)遞增，
當g′（x）＜0時，即x＞0，函數(shù)g（x）單調(diào)遞減，
∴g（x）max≥g（0）=1，
∴當x≠0時，（1-x）f（x）＜1；
（Ⅱ）不防設(shè)a＜b
記g（x）=[f（x）+f（a）]（x-a）-2[f（x）-f（a）]，x≥a
∴g'（x）=f'（x）（x-a）+[f（x）+f（a）]-2f'（x），
=f'（x）（x-a）-[f（x）-f（a）]，
∴g″（x）=f″（x）（x-a）+f'（x）-f'（x）=f（x）（x-a）＞0，
∴g'（x）在x＞a上單調(diào)增加，
則g'（x）＞g'（a）=0，
∴g（x）在x＞a上單調(diào)增加，
又g（x）可在x=a處連續(xù)，
∴g（x）＞g（a）=0，
即[f（x）+f（a）]（x-a）-2[f（x）-f（a）]＞0，
特別的取x=b，[f（b）+f（a）]（b-a）-2[f（b）-f（a）]＞0，
整理得$\frac{f（a）-f（b）}{a-b}$＜$\frac{f（a）+f（b）}{2}$，
問題得以證明．

點評 本題考查了導數(shù)和函數(shù)的最值得關(guān)系，以及轉(zhuǎn)化思想，構(gòu)造函數(shù)是關(guān)鍵，屬于中檔題．