分析 (1)由正弦定理化簡(jiǎn)已知可得sinAsinB-$\sqrt{3}$sinBcosA=0,又sinB≠0,從而可求tanA,由于0<A<π,即可解得A的值;
(2)把已知向量等式變形,可得${a}^{2}=^{2}+{c}^{2}-\frac{bc}{2}-4$,再結(jié)合余弦定理得a2=b2+c2-bc,聯(lián)立求得bc=8,進(jìn)一步代入a2=b2+c2-bc,利用放縮法求得a的最小值.
解答 解:(1)∵asinB-$\sqrt{3}$bcosA=0,由正弦定理,得sinAsinB-$\sqrt{3}$sinBcosA=0,
又sinB≠0,∴tanA=$\sqrt{3}$,
∵0<A<π,A=$\frac{π}{3}$;
(2)由$\overrightarrow{AB}$2+$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BC}$-$\overrightarrow{BC}$2=4,得$|\overrightarrow{AB}{|}^{2}+\overrightarrow{AC}•(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC})-|\overrightarrow{BC}{|}^{2}=4$,
∴${c}^{2}+\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BA}+^{2}-{a}^{2}=4$,
∴c2+bc•cos120°+b2-a2=4,
則${a}^{2}=^{2}+{c}^{2}-\frac{bc}{2}-4$,①
又∵2bc•cos2A=b2+c2-a2,
∴a2=b2+c2-bc,②
由①②得bc=8.
∴a2=b2+c2-bc≥2bc-bc=bc,
∴$a≥2\sqrt{2}$.
故a的最小值為$2\sqrt{2}$.
點(diǎn)評(píng) 本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算,考查了三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,訓(xùn)練了利用放縮法求最值,是中檔題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題
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A. | $\frac{1}{2}$ | B. | $-\frac{1}{2}$ | C. | $\frac{1}{2}i$ | D. | $-\frac{1}{2}i$ |
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A. | 1 | B. | -2 | C. | -1 | D. | 0 |
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