5.△ABC的內(nèi)角A、B、C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a,b,c,且asinB-$\sqrt{3}$bcosA=0
(1)求角A;
(Ⅱ)若$\overrightarrow{AB}$2+$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BC}$-$\overrightarrow{BC}$2=4,求a的最小值.

分析 (1)由正弦定理化簡(jiǎn)已知可得sinAsinB-$\sqrt{3}$sinBcosA=0,又sinB≠0,從而可求tanA,由于0<A<π,即可解得A的值;
(2)把已知向量等式變形,可得${a}^{2}=^{2}+{c}^{2}-\frac{bc}{2}-4$,再結(jié)合余弦定理得a2=b2+c2-bc,聯(lián)立求得bc=8,進(jìn)一步代入a2=b2+c2-bc,利用放縮法求得a的最小值.

解答 解:(1)∵asinB-$\sqrt{3}$bcosA=0,由正弦定理,得sinAsinB-$\sqrt{3}$sinBcosA=0,
又sinB≠0,∴tanA=$\sqrt{3}$,
∵0<A<π,A=$\frac{π}{3}$;
(2)由$\overrightarrow{AB}$2+$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BC}$-$\overrightarrow{BC}$2=4,得$|\overrightarrow{AB}{|}^{2}+\overrightarrow{AC}•(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC})-|\overrightarrow{BC}{|}^{2}=4$,
∴${c}^{2}+\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BA}+^{2}-{a}^{2}=4$,
∴c2+bc•cos120°+b2-a2=4,
則${a}^{2}=^{2}+{c}^{2}-\frac{bc}{2}-4$,①
又∵2bc•cos2A=b2+c2-a2,
∴a2=b2+c2-bc,②
由①②得bc=8.
∴a2=b2+c2-bc≥2bc-bc=bc,
∴$a≥2\sqrt{2}$.
故a的最小值為$2\sqrt{2}$.

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算,考查了三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,訓(xùn)練了利用放縮法求最值,是中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題

15.如圖所示,在直三棱拄ABC-A1B1C1中,AA1=AB=AC=1,AB⊥AC,N是BC的中點(diǎn),點(diǎn)P在直線A1B1上,且滿足$\overrightarrow{{A}_{1}P}$=λ$\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{1}}$,當(dāng)直線PN與平面ABC所的角最大時(shí),λ的值是(  )
A.$\frac{1}{2}$B.$\frac{1}{3}$C.$\frac{2}{3}$D.1

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題

16.若復(fù)數(shù)z滿足$({1+i})\cdotz=i$,則此復(fù)數(shù)z的虛部為(  )
A.$\frac{1}{2}$B.$-\frac{1}{2}$C.$\frac{1}{2}i$D.$-\frac{1}{2}i$

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題

13.已知正實(shí)數(shù)x、y滿足y>2x,則$\frac{{{y^2}-2xy+{x^2}}}{{xy-2{x^2}}}$最小值為4.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題

20.已知|$\overrightarrow{a}$|=2,|$\overrightarrow$|=1并且,$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為$\frac{2π}{3}$,則($\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$)•$\overrightarrow$的值為(  )
A.1B.-2C.-1D.0

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

10.已知函數(shù)f(x)=ex
(Ⅰ)證明:當(dāng)x≠0時(shí),(1-x)f(x)<1;
(Ⅱ)證明:當(dāng)a≠b時(shí),$\frac{f(a)-f(b)}{a-b}$<$\frac{f(a)+f(b)}{2}$.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

17.已知函數(shù)f(x)=$\frac{6x}{{x}^{2}+1}$.
(Ⅰ)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性,并證明你的結(jié)論;
(Ⅱ)求滿足不等式f(2x)>2x的實(shí)數(shù)x的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題

14.已知集合A={-1,0,1},B={0,a,2},若A∩B={-1,0},則a=-1.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

15.求直線2x-y-1=0被圓x2+y2-2x=0所截得的弦的長(zhǎng).

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案