Question

14．如圖所示，已知⊙O的直徑為AD，PA為⊙O的切線，由P作割線PBC依次交⊙O于B，C兩點(diǎn)，且PA=CD=6，BC=9，AC=8．
（Ⅰ）求⊙O的面積大�。�
（Ⅱ）求PB，AB，BD的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由AB是⊙O的直徑，AC⊥CD，求出半徑r=5，由此能求出⊙O的面積．
（Ⅱ）設(shè)PB=x，則PC=x+9，由切割線定理，得PB=3，由弦切角定理，得∠PAB=∠ACB，從而△PAB∽△PCA，由此能求出PB，AB，BD的值．

解答 解：（Ⅰ）∵AB是⊙O的直徑，AC⊥CD，
∴AD=2r=$\sqrt{61+36}=10$，r=5，
∴⊙O的面積=πr²=25π．
（Ⅱ）設(shè)PB=x，則PC=x+9，
由切割線定理，得PA²=PB•PC，
∴36=x（x+9），解得x=3（x=-12舍），∴PB=3，
由弦切角定理，得∠PAB=∠ACB，
又∠P=∠P，∴△PAB∽△PCA，
∴$\frac{AB}{AC}=\frac{PB}{PA}$，∴$\frac{AB}{8}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$，
∴AB=4，
又AB⊥BD，∴BD=$\sqrt{A{D}^{2}-A{B}^{2}}$=$\sqrt{100-16}$=2$\sqrt{21}$．
∴PB=3，AB=4，BD=2$\sqrt{21}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的面積的求法，考查線段長(zhǎng)的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意切割線定理、弦切角定理的合理運(yùn)用．