Question

函數(shù)f（x）=x²+mln（x+1）．
（1）若函數(shù)f（x）是定義域上的單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）若m=-1，試比較當(dāng)x∈（0，+∞）時，f（x）與x³的大��；
（3）證明：對任意的正整數(shù)n，不等式e⁰+e^-1×4+e^-2×9+…+e (1-n)n2＜

n(n+3)

2

成立．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,不等式的證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（1）分f′（x）≥0或f′（x）≤0在（-1，+∞）上恒成立兩種情況；
（2）令m=-1，通過求導(dǎo)，得g（x）=f（x）-x³在（0，+∞）上單調(diào)遞減，從而得證；
（3）由（2）可知x²-x³＜ln（x+1）（x∈（0，+∞）），變形為e(1-x)x2＜x+1  （x∈（0，+∞）），相加計算即可．

解答： 解：（1）根據(jù)題意，由f′(x)=2x+

m

x+1

=

2x2+2x+m

x+1

，
可知f′（x）≥0或f′（x）≤0在（-1，+∞）上恒成立．
下面分兩種情況討論：
①當(dāng)f′（x）=

2x2+2x+m

x+1

≥0在（-1，+∞）上恒成立時，
有m≥-2x2-2x=-2(x+

1

2

)2+

1

2

在（-1，+∞）上恒成立，故m≥

1

2

；
②當(dāng)f′（x）=

2x2+2x+m

x+1

≤0在（-1，+∞）上恒成立時，
有m≤-2x2-2x=-2(x+

1

2

)2+

1

2

在（-1，+∞）上恒成立．
∵-2(x+

1

2

)2+

1

2

在（-1，+∞）上沒有最小值，
∴不存在實(shí)數(shù)m使f′（x）＜0在（-1，+∞）上恒成立．
綜上所述，實(shí)數(shù)m的取值范圍是[

1

2

，+∞）；
（2）當(dāng)m=-1時，即函數(shù)f（x）=x²-ln（x+1）．
令g（x）=f（x）-x³=-x³+x²-ln（x+1），
則g′(x)=-3x2+2x-

1

x+1

=-

3x3+(x-1)2

x+1

，
顯然，當(dāng)x∈（0，+∞）時，g′（x）＜0，即函數(shù)g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，
又因為g（0）=0，所以當(dāng)x∈（0，+∞）時，恒有g(shù)（x）＜g（0）=0，
即f（x）-x³＜0恒成立，故當(dāng)x∈（0，+∞）時，有f（x）＜x³．
（3）由（2）可知x²-x³＜ln（x+1）（x∈（0，+∞）），
所以ex2-x3＜eln(x+1)，即e(1-x)x2＜x+1（x∈（0，+∞）），
當(dāng)x取自然數(shù)時，有e(1-n)n2＜n+1（n∈N^*），
所以e⁰+e^-1×4+e^-2×9+…+e (1-n)n2
＜（1+1）+（2+1）+（3+1）+…+（n+1）
=1×n+1+2+3+4+…+n
=n+

n(n+1)

2

=

n(n+3)

2

．

點(diǎn)評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，以及函數(shù)單調(diào)區(qū)間等有關(guān)基礎(chǔ)知識，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的方法及推理和運(yùn)算能力．