Question

17．已知函數(shù)f（x）=e|xe^x|，若函數(shù)y=[f（x）]²+bf（x）-2恰有三個不同的零點，則實數(shù)b的取值范圍是（　�。�

• A． （2$\sqrt{2}$，+∞）
• B． （-1，2$\sqrt{2}$）
• C． （1，+∞）
• D． （-3，+∞）

Answer 1

分析 函數(shù)f（x）=e|xe^x|是分段函數(shù)，通過求導(dǎo)分析得到函數(shù)f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，在（-∞，-1）上為增函數(shù)，在（-1，0）上為減函數(shù)，求得函數(shù)f（x）在（-∞，0）上，當(dāng)x=-1時有一個最大值1，則要使函數(shù)y=[f（x）]²+bf（x）-2恰有三個不同的零點，f（x）的值一個要在（0，1）內(nèi)，一個在（-∞，0）內(nèi)，然后運用二次函數(shù)的圖象及二次方程根的關(guān)系列式求解b的取值范圍．

解答 解：f（x）=e|xe^x|=$\left\{\begin{array}{l}{ex•{e}^{x}，x≥0}\\{-ex•{e}^{x}，x＜0}\end{array}\right.$，
當(dāng)x≥0時，f′（x）=e^x+1（x+1）≥0恒成立，
∴f（x）在[0，+∞）上為增函數(shù)；
當(dāng)x＜0時，f′（x）=-e^x+1（x+1），
由f′（x）=0，得x=-1，當(dāng)x∈（-∞，-1）時，f′（x）=-e^x+1（x+1）＞0，f（x）為增函數(shù)，
當(dāng)x∈（-1，0）時，f′（x）=-e^x+1（x+1）＜0，f（x）為減函數(shù)，
∴函數(shù)f（x）=e|xe^x|的極大值為f（-1）=1．
極小值為f（0）=0．
令f（x）=m，則m²+bm-2=0．
要使函數(shù)y=[f（x）]²+bf（x）-2恰有三個不同的零點，
則m²+bm-2=0一根小于0，另一根大于0小于1．
∴$\left\{\begin{array}{l}{-2＜0}\\{{1}^{2}+b-2＞0}\end{array}\right.$，
解得：b＞1．
∴實數(shù)b的取值范圍是（1，+∞）．
故選：C．

點評 本題考查了根的存在性及根的個數(shù)的判斷，考查了利用函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，考查了學(xué)生分析問題和解決問題的能力，解答此題的關(guān)鍵是分析出方程[f（x）]²+bf（x）-2=0有三個實數(shù)根時f（x）的取值情況，屬中檔題．