Question

5．若數(shù)列{a_n}中不超過f（m）的項數(shù)恰為b_m（m∈N^*），則稱為數(shù)列{b_m}是數(shù)列{a_n}的生成數(shù)列，稱相應(yīng)的函數(shù)f（m）是數(shù)列{a_n}生成{b_m}的控制函數(shù)．
（1）已知a_n=n²，且f（m）=m²，寫出b₁、b₂、b₃；
（2）已知a_n=2n，且f（m）=m，求{b_m}的前m項和S_m；
（3）已知a_n=2ⁿ，且f（m）=Am³（A∈N^*），若數(shù)列{b_m}中，b₁，b₂，b₅是公差為d（d≠0）的等差數(shù)列，且b₃=10，求d的值及A的值．

Answer 1

分析 （1）令a_n≤b_m，求出n的最大值即可得出b_m；
（2）令a_n≤b_m，求出n的最大值即可得出b_m可得b_m．對m進行分類討論得出S_m；
（3）由定義可知b_m為不超過log₂Am³的最大整數(shù)，故而d=b₂-b₁=3，利用定義列方程組得出A的范圍，根據(jù)b₂≤10≤b₃得出關(guān)于A的不等式，得出b₁的取值范圍，從而得出A的范圍．

解答 解：（1）令n²≤m²，得n≤m，∴b_m=m，
∴b₁=1，b₂=2，b₃=3．
（2）令2n≤m，解得n$≤\frac{m}{2}$，∴b_m=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{m-1}{2}，m為奇數(shù)}\\{\frac{m}{2}，m為偶數(shù)}\end{array}\right.$．
當(dāng)m為偶數(shù)時，S_m=（0+1+2+3+…+$\frac{m-2}{2}$）+（1+2+3+…+$\frac{m}{2}$）
=$\frac{1}{2}$（1+$\frac{m-2}{2}$）×$\frac{m-2}{2}$+$\frac{1}{2}$（1+$\frac{m}{2}$）×$\frac{m}{2}$=$\frac{{m}^{2}}{4}$．
當(dāng)m為奇數(shù)時，S_m=（0+1+2+…+$\frac{m-1}{2}$）+（1+2+3+…+$\frac{m-1}{2}$）
=$\frac{1}{2}$（1+$\frac{m-1}{2}$）×$\frac{m-1}{2}$×2=$\frac{{m}^{2}-1}{4}$．
∴S_m=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{m}^{2}-1}{4}，m為奇數(shù)}\\{\frac{{m}^{2}}{4}，m為偶數(shù)}\end{array}\right.$．
（3）令2ⁿ≤Am³，解得n≤log₂（Am³）．
∴b_m=[log₂Am³]=[log₂A+3log₂m]，
∴b₁=[log₂A]，b₂=3+[log₂A]，
∴d=b₂-b₁=3，
∴b₅=6+[log₂A]．
設(shè)b₁=[log₂A]=t
則$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{t}≤A＜{2}^{t+1}}\\{{2}^{t+3}≤8A＜{2}^{t+4}}\\{{2}^{t+6}≤125A＜{2}^{t+7}}\end{array}\right.$
∴2^t≤A＜$\frac{128}{125}•{2}^{t}$．
∵b₃=[log₂27A]=10，
∴2¹⁰≤27A＜2¹¹，∴$\frac{{2}^{10}}{27}≤$A＜$\frac{{2}^{11}}{27}$，
∵{b_m=log₂Am³}為非遞減數(shù)列，
∴b₂≤b₃≤b₅，
∴3+t≤10≤6+t，
∴4≤t≤7，
當(dāng)t=4時，$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{4}≤A＜\frac{128}{125}•{2}^{4}}\\{\frac{{2}^{10}}{27}≤A＜\frac{{2}^{11}}{27}}\end{array}\right.$，無解；
當(dāng)t=5時，$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{5}≤A＜\frac{128}{125}•{2}^{5}}\\{\frac{{2}^{10}}{27}≤A＜\frac{{2}^{11}}{27}}\end{array}\right.$，無解；
當(dāng)t=6時，$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{6}≤A＜\frac{128}{125}•{2}^{6}}\\{\frac{{2}^{10}}{27}≤A＜\frac{{2}^{11}}{27}}\end{array}\right.$，∴2⁶≤A＜$\frac{128}{125}•{2}^{6}$．
∵A∈N^*，∴A=64或A=65．
當(dāng)t=7時，$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{7}≤A＜\frac{128}{125}•{2}^{7}}\\{\frac{{2}^{10}}{27}≤A＜\frac{{2}^{11}}{27}}\end{array}\right.$，無解．
綜上，A=64或A=65，d=3．

點評 本題考查了遞推關(guān)系、數(shù)列的通項公式、等比數(shù)列的通項公式、分類討論方法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．