Question

11．如圖，四邊形ABCD是圓O的內接四邊形，延長BA和CD相交于點P，A是PB的一個三等點，D是PC的中點．
（1）求$\frac{AD}{BC}$的值：
（2）若BD為圓O的直徑，AD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，求圓O的面積．

Answer 1

分析 （1）由已知推導出PA=$\frac{2\sqrt{3}}{3}PD$，△PAD∽△PCB，由此能求出$\frac{AD}{BC}$的值．
（2）連結BD，由勾股定理求出DC=$\frac{3\sqrt{7}}{7}$，BD=$\frac{\sqrt{546}}{14}$，由此能求出圓O的面積．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD是圓O的內接四邊形，延長BA和CD相交于點P，
A是PB的一個三等點，D是PC的中點，
∴PA•PB=PD•PC，即3PA²=2PD²，∴PA=$\sqrt{\frac{2}{3}P{D}^{2}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}PD$，
∵∠B=∠PDA，∠P=∠P，
∴△PAD∽△PCB，∴$\frac{AD}{BC}=\frac{PA}{PC}$=$\frac{\frac{2\sqrt{3}}{3}PD}{2PD}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
（2）連結BD，∵BD為圓O的直徑，AD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴∠BCD=∠BAD=90°，BC=$\sqrt{3}AD=\frac{\sqrt{6}}{2}$，AB=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$DC，
∴（$\frac{4\sqrt{3}}{3}DC$）²+（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²=（$\frac{\sqrt{6}}{2}$）²+DC²，
解得DC=$\frac{3\sqrt{7}}{7}$，∴BD=$\sqrt{\frac{9}{7}+\frac{6}{4}}$=$\frac{\sqrt{546}}{14}$，
∴圓O的面積S=$π×（\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{546}}{14}）^{2}$=$\frac{273}{14}π$．

點評 本題考查兩線段比值的求法，考查圓的面積的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意圓的性質的合理運用．