Question

6．已知在平面直角坐標系xoy中，圓C：（x-1）²+y²=4
（Ⅰ）過點$A（2，\sqrt{3}）$做圓的切線，求切線方程．
（Ⅱ）求過點B（2，1）的圓的弦長的最小值，并求此時弦所在的直線的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據點$A（2，\sqrt{3}）$在圓C上，求出直線CA的斜率，即可得出所求切線的斜率與方程；
（Ⅱ）根據點B在圓C內，求出圓心C到點B的距離，利用勾股定理求出過點B的圓的弦長的最小值，再根據垂直關系得出所求弦所在直線的斜率．

解答 解：（Ⅰ）平面直角坐標系xoy中，圓C：（x-1）²+y²=4的圓心C（1，0），
且點$A（2，\sqrt{3}）$在圓C上，
∴直線CA的斜率是k_CA=$\frac{\sqrt{3}}{2-1}$=$\sqrt{3}$，
∴所求切線的斜率為k_l=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
切線方程是y-$\sqrt{3}$=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x-2），
化簡為x+$\sqrt{3}$y-5=0；
（Ⅱ）點B（2，1）在圓C內，
圓心C到點B的距離是d=$\sqrt{{（2-1）}^{2}{+（1-0）}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
且半徑為r=2；
所以過點B的圓的弦長的最小值是：
l=2$\sqrt{{r}^{2}{-d}^{2}}$=2$\sqrt{{2}^{2}{-（\sqrt{2}）}^{2}}$=2$\sqrt{2}$；
又直線CB的斜率為k_CB=$\frac{1}{2-1}$=1，
∴所求直線的斜率為k=-1，
方程我y-1=-1（x-2），化簡得x+y-3=0．

點評 本題考查了直線與圓的方程的應用問題，也考查了直線垂直與勾股定理的應用問題，是綜合性題目．